Cubaan AI Menyerang Set Bebas Janjang: Lejar tentang Apa yang Terkandas

TL;DR. Sebuah pembantu AI mengusahakan dua masalah mengenai set bebas janjang: satu hujah untuk masalah hasil tambah salingan, dan satu batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap.

Intipati utama

Dua tugasan, dan hanya satu daripadanya pernah dituntut. Bahan kajian ini terbahagi kepada dua tugasan, dan adalah wajar untuk membezakan status kedua-duanya.
Penyusutan ketumpatan tidak sama dengan kebolehtambahan. Halangan pertama muncul pada peringkat seni bina hujah, sebelum sebarang analisis Fourier dilakukan.
Mengekalkan struktur, dan mengapa tiga sebutan tidak dapat digeneralisasikan. Satu penyelesaian yang dicadangkan adalah dengan mengekalkan struktur sedia ada.
Menjajarkan frekuensi sekali sahaja bukannya berkali-kali. Penjajaran fungsi frekuensi secara berjujukan ialah titik di mana masalah pengumpulan memberi kesan paling teruk.

Perkara paling berguna yang boleh diberitahu oleh satu pembuktian yang belum selesai ialah di mana tepatnya ia terputus, dan pembuktian ini terputus di kira-kira sedozen tempat yang khusus.

Ringkasan Eksekutif

Kerja ini mempunyai dua tugasan. Tugasan pertama membangunkan hujah untuk masalah hasil tambah salingan. Tugasan kedua mencari batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap, dan matlamat itu tidak dicapai.

Garis asasnya ialah keputusan hasil tambah salingan tiga sebutan oleh Bloom dan Sisask. Penyusutan ketumpatan kualitatif sahaja tidak membekalkan kebolehtambahan (summability) yang diperlukan oleh hujah tersebut.

Banyak pendekatan telah dicuba: set ambien berstruktur, penjajaran frekuensi serentak, lema pengiraan jarang, pelicinan Croot-Sisask, pengangkatan dan lelaran, penjuru, serta entropi pada skala p = log M. Setiap satunya menemui halangan yang dinyatakan dengan jelas.

Pengiraan akhir dibiarkan tidak selesai, tanpa lema sekatan atau prinsip pengiraan jarang.

Bagi para pengasas dan ketua teknikal, pengajarannya adalah tentang kaedah: sebuah lejar kegagalan yang dinamakan secara khusus adalah hasil serahan yang lebih boleh dipercayai berbanding lakaran yang tampak yakin.

Dua tugasan, dan hanya satu daripadanya pernah dituntut #

Bahan kajian ini terbahagi kepada dua tugasan, dan adalah wajar untuk membezakan status kedua-duanya. Tugasan pertama membangunkan hujah untuk masalah hasil tambah salingan. Tugasan kedua mencari batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap. Kata kerja yang digunakan amat penting. Tugasan pertama diperihalkan sebagai membangunkan satu hujah. Tugasan kedua hanya mencari satu batas. Tiada apa-apa dalam rekod yang mengatakan matlamat kedua telah dicapai, dan saya akan melayannya sebagai satu sasaran di sepanjang penulisan ini.

Pembantu tersebut tidak bermula daripada kosong. Ia menggunakan keputusan hasil tambah salingan tiga sebutan oleh Bloom dan Sisask sebagai garis asas. Segala-galanya selepas itu adalah cubaan untuk bergerak melepasi garis asas tersebut, sama ada ke arah janjang yang lebih panjang atau ke arah pernyataan kuantitatif yang lebih kukuh. Tatatanda ditetapkan sejak awal. Bagi setiap k, r_k(N) ialah saiz terbesar bagi subset {1, ..., N} tanpa janjang k-sebutan bukan remeh. Satu set A dengan ketumpatan α = |A|/N ialah objek yang dikaji, dan fungsi ternormalnya ialah f = 1_A/α.

Penormalan itu memacu sebahagian besar daripada apa yang menyusul. Takrifkan μ = 1_A/α, supaya E[μ] = 1, dan tetapkan M = α^-1. Kejarangan logaritma kemudiannya ialah p = log(1/α), yang sama dengan log M. Semakin jarang set tersebut, semakin besar nilai M dan p. Setiap halangan di bawah, dalam satu bentuk atau yang lain, adalah pernyataan tentang apa yang berlaku apabila kejarangan itu bertambah besar.

Penyusutan ketumpatan tidak sama dengan kebolehtambahan #

Halangan pertama muncul pada peringkat seni bina hujah, sebelum sebarang analisis Fourier dilakukan. Rekod tersebut menyatakan dengan jelas bahawa penyusutan ketumpatan kualitatif semata-mata tidak membekalkan kebolehtambahan ini. Mengetahui bahawa ketumpatan mengecil apabila anda bergerak merentasi skala tidak mencukupi. Masalah hasil tambah salingan memerlukan pengecilan itu dikuantifikasikan dengan cukup baik supaya boleh dijumlahkan.

Satu jalan keluar yang menggoda ialah hubungan berulang (recurrence). Nota tersebut menyebut bahawa hubungan berulang yang cukup kuat bagi ketumpatan bebas janjang ekstremal mungkin menghasilkan kebolehtambahan merentasi skala eksponen. Ayat itu dinyatakan secara berlapik, dan ia wajar kekal berlapik. Ia memerihalkan apa yang boleh dilakukan oleh satu hubungan berulang kuat yang bersifat hipotesis. Ia tidak melaporkan kewujudannya.

Kos kedua adalah berasingan daripada yang pertama. Pembantu itu mengenal pasti pengumpulan banyak korelasi lemah sebagai satu lagi kos tambahan. Setiap korelasi individu mungkin tidak berbahaya manakala hasil tambahnya pula berbahaya. Tema ini berulang: satu langkah yang murah apabila dilakukan sekali menjadi mahal apabila terpaksa diulang berkali-kali.

Mengekalkan struktur, dan mengapa tiga sebutan tidak dapat digeneralisasikan #

Satu penyelesaian yang dicadangkan adalah dengan mengekalkan struktur sedia ada. Pembantu itu mencadangkan agar set ambien berstruktur dikekalkan merentasi tokokan berturut-turut. Ideanya, seperti yang dinyatakan secara berhati-hati dalam sumber, ialah anda tidak sepatutnya membuang set berstruktur yang anda temui pada satu peringkat apabila beralih ke peringkat seterusnya.

Kes tiga sebutan mempunyai ciri yang tidak dimiliki oleh janjang yang lebih panjang. Mekanisme kepositifan yang berguna untuk janjang tiga sebutan tidak dapat dilanjutkan secara terus kepada kiraan berakar yang lebih panjang. Ini adalah tempat pertama daripada beberapa tempat di mana halangannya adalah khusus bagi k lebih besar daripada tiga. Nota terkemudian menyatakan perkara yang sama secara umum: janjang yang lebih panjang memperkenalkan halangan peringkat lebih tinggi yang selanjutnya.

Rekod tersebut menyertakan lakaran hasil darab tensor mengenai sama ada norma keseragaman tetap boleh mengawal fungsi ternormal yang jarang. Pembantu itu tidak melengkapkan lakaran tersebut. Saya lebih rela melaporkan perkara itu berbanding memberi bayangan bahawa persoalan tersebut telah selesai ke mana-mana arah.

Menjajarkan frekuensi sekali sahaja bukannya berkali-kali #

Penjajaran fungsi frekuensi secara berjujukan ialah titik di mana masalah pengumpulan memberi kesan paling teruk. Jika setiap penjajaran menelan sedikit kos, rantai penjajaran yang panjang akan menelan kos yang besar. Pembantu itu mencadangkan penjajaran beberapa fungsi frekuensi secara serentak, bukannya mengumpul kerugian melalui penjajaran berjujukan. Nota tepi menyatakannya secara terus terang: "Tiada kerugian lelaran jika jajarkan semua frekuensi serentak." Seperti cadangan yang diringkaskannya, ayat itu bersifat bersyarat, kerana ia memerihalkan kelebihan yang bakal diperoleh daripada penjajaran serentak sekiranya ia berjaya.

Nota itu kemudian menyatakan apa yang masih hilang. S_h perlu boleh dipulihkan daripada frekuensi yang mempunyai korelasi besar, sekurang-kurangnya exp(-poly). Itu kekal sebagai satu keperluan, bukannya satu keputusan yang telah dicapai. Korelasi yang sedang disusun ialah korelasi bagi hasil darab pasangan f(x)f(x + h), dengan f = 1_A/α dan α = |A|/N.

Walaupun perkara itu diberikan, pembantu tersebut masih perlu mengekalkan korelasi relatif dan melengkapkan hujah pengiraan. Jadi idea penjajaran serentak mempunyai sifat yang menarik, iaitu tiada kerugian lelaran, bersama-sama senarai perkara yang belum disahkan oleh sesiapa. Pendekatan berkaitan mempunyai batasan yang serupa. Memangkas puncak koheren yang nadir berjaya untuk kelompok frekuensi tak bersandar, tetapi melanjutkan hujah itu kepada kelompok bersandar masih belum selesai.

Serpihan kosong yang nadir dan kos pengisian adaptif #

Apabila hujah bergerak daripada simpan kira sebelah Fourier kepada pengiraan janjang yang sebenar, satu masalah struktur muncul. Pembantu itu mengenal pasti satu halangan: batas ketumpatan atas pada serpihan berstruktur membenarkan kewujudan serpihan kosong yang nadir. Batas atas mengenai berapa banyak bahagian A yang terletak di dalam sesuatu serpihan tidak mengatakan apa-apa tentang sama ada wujud sebarang bahagian A di situ. Serpihan yang nadir dan kosong boleh duduk di dalam satu keluarga serpihan yang kesemuanya memenuhi batas tersebut.

Satu tindak balas ialah pengisian adaptif, dan ia datang dengan bilnya sendiri. Pengisian adaptif memperkenalkan syarat kebolehlaksanaan tambahan yang belum dibuktikan oleh pembantu tersebut. Satu majoran ialah cara semula jadi untuk menolak keluar serpihan buruk yang nadir. Teks petikan pembantu itu mengatakan majoran pada semua atom nadir berkemungkinan besar tidak realistik. Ulasan itu dinyatakan secara berlapik, tetapi ia menghala jauh daripada pembaikan yang paling langsung.

Inilah corak yang menerangkan baki rekod tersebut. Hujah yang jimat memerlukan batas bawah di sesuatu tempat, alatan yang sedia ada pula memberikan batas atas, dan jurang di antara kedua-duanya dihuni oleh perkara-perkara yang nadir, jarang, dan kosong.

Meminjam jentera pengiraan jarang, dan mendapati bahagian yang dipinjam tidak mencukupi #

Pembantu itu meninjau kepustakaan pengiraan jarang yang sedia ada untuk mencari jalan merentas. Dua sumber mencorakkan cubaan tersebut.

Mengenai pemekatan Conlon-Fox-Zhao, pembantu itu mendapati bahawa ia bergantung pada anggaran bentuk linear dua hala. Perkara itu penting kerana tetapan di sini mempunyai struktur batas atas dan bukannya struktur dua hala. Kaedah yang dibina di atas kawalan dua hala tidak dapat digunakan apabila hanya satu sebelah sahaja yang diketahui.

Lema pengiraan graf jarang oleh Filmus, Hatami, Hosseini, dan Kelman membekalkan model untuk momen grid tak simetri dan penyahimbangan semidefinit positif. Jadi ia berfungsi sebagai templat, bukannya sebagai teorem siap guna. Sungguhpun begitu, kesukaran yang sama berulang kembali. Batas atas semata-mata berulang kali menemui lubang jarang. Satu lagi kerumitan menjadikan momen grid sukar dibaca: momen grid berpusat yang besar boleh mencerminkan jisim yang hilang bukannya penumpuan ke atas. Momen yang besar kelihatan seperti bukti penumpuan, tetapi ia juga boleh dihasilkan secara setara oleh jisim yang tiada di situ. Ketaksaan itu ialah masalah lubang jarang yang dilihat dari sebelah momen.

Seterusnya pembantu itu mempertimbangkan kehilangan kuasa kecil dalam M. Ia tidak memperoleh sebarang teorem pengiraan yang sesuai. Itu adalah keputusan negatif yang bersih, dan ia menyempitkan medan pencarian: walaupun dengan membenarkan hujah kehilangan kuasa kecil bagi M, tiada teorem pengiraan yang sesuai ditemui.

Pelicinan terlalu mahal untuk digunakan #

Pelicinan Croot-Sisask ialah laluan piawai untuk melaraskan sesuatu set sebelum membuat pengiraan. Pembantu itu mempertimbangkannya dan mendapati ketepatan yang diperlukan terlalu mahal dalam penggunaan yang dicadangkan. Kaedah itu tidak salah. Harganya sahaja yang melebihi apa yang mampu dibayar oleh hujah tersebut.

Ekonomi yang sama mengawal laluan-laluan lain. Bagi hujah gentian (fibre), batas gentian tidak mendarab secara automatik, dan sfera bernorma malar menghalang penyusutan kuat yang diharapkan ke atas abjad digit tetap. Struktur hasil darab mencadangkan bahawa batas pada serpihan sepatutnya bergabung menjadi batas pada keseluruhan, namun di sini ia tidak berlaku sedemikian. Cubaan pengangkatan dan lelaran masih kehilangan terlalu banyak secara kuantitatif.

Pendekatan kedualan anggaran Ben-Sasson-Ron-Zewi dipertimbangkan seterusnya. Pembantu itu mendapati bahawa lelaran yang dirancang kehilangan terlalu banyak secara kuantitatif. Ini adalah keputusan yang sama seperti cubaan pengangkatan, yang dicapai dari arah berbeza, yang mencadangkan bahawa masalahnya terletak pada lelaran itu sendiri dan bukannya pada mana-mana satu pembinaan tertentu. Saya akan memegang perkara itu sebagai pemerhatian mengenai corak yang wujud, bukannya diagnosis yang telah terbukti.

Sebaris optimisme, dan aritmetik yang mematahkannya #

Rekod tersebut mengandungi satu detik kemajuan yang tampak nyata. Teks petikan pembantu itu menegaskan bahawa turun naik darjah hasil darab dikendalikan dengan kepersisan polinomial, lengkap dengan tanda seru. Ia adalah penegasan berlapik, yang dipetik tepat seperti yang ditulis oleh pembantu tersebut.

Pembantu itu kemudian menyedari masalah padanya. Kembangan bertanda boleh mempunyai jisim mutlak berperingkat 2^p, yang menenggelamkan ketepatan polinomial. Ingat semula bahawa p = log M. Kepersisan polinomial dalam M adalah sasaran yang sederhana, manakala kembangan bertanda dengan jisim berperingkat 2^p adalah jauh lebih besar secara eksponen. Kepersisan itu memang wujud, tetapi pembatalan (cancellation) yang diharapkan tidak mampu menyerap jisim sebanyak itu.

Saya mendapati ini adalah catatan paling memberi pengajaran di dalam lejar tersebut, kerana ia menunjukkan semakan kendiri sedang berfungsi. Satu tuntutan yang dibuat dengan tanda seru dibuka semula, dan aritmetik yang menjadi sandarannya didapati tidak memadai. Begitulah rupa rekod kerja yang jujur. Rasa teruja dan pembetulannya duduk bersama di dalam dokumen yang sama.

Penjuru dan kotak tidak bercantum menjadi janjang yang lebih panjang #

Strategi berbeza adalah menggunakan keputusan kukuh yang telah diketahui sebagai batu loncatan. Batas penjuru (corners) kuasipolinomial ialah alat yang berkaitan, tetapi penjuru yang terhasil tidak bercantum secara automatik menjadi janjang yang lebih panjang. Penjuru ialah corak dua dimensi manakala janjang panjang ialah corak satu dimensi, dan peralihan antara kedua-duanya tidak berlaku secara automatik.

Kiraan kotak empat sebutan menampilkan kesukaran yang berkaitan. Kepositifan kiraan kotak empat sebutan tidak mengawal pepenjuru luar biasanya. Kiraan yang positif masih boleh didominasi oleh tatarajah merosot (degenerate), dan pepenjuru itulah tempat tatarajah tersebut berada.

Nota tersebut memang menawarkan kemungkinan jalan ke hadapan, yang dinyatakan dengan penuh berhati-hati. Norma kotak lengkap menawarkan mekanisme yang mungkin bagi persoalan sama ada kiraan atas sahaja boleh memaksa kiraan janjang bawah. Persoalan itu, iaitu sama ada maklumat sebelah pihak boleh memaksa satu batas bawah, adalah persoalan yang terus dikelilingi oleh keseluruhan projek ini. Namun ada had sejauh mana perkara ini boleh dilanjutkan. Sumbangan padu negatif menghalang pelanjutan terus kepada sistem janjang.

Beralih kepada entropi pada skala p = log M #

Apabila laluan pengiraan terus terhalang, penyiasatan beralih ke arah entropi pada skala p = log M, dengan memanfaatkan penggunaan momen tinggi oleh Kelley-Meka. Pemilihan skala ini bukan secara sembarangan: p = log M ialah kejarangan logaritma yang ditakrifkan pada permulaan tadi.

Teks petikan pembantu itu mencadangkan penggunaan entropi sebagai ganti L2 melalui ketaknegatifan dan kebolehsingkiran frekuensi (Chang). Itu adalah satu cadangan, bukannya satu keputusan. Penaakulannya ialah μ = 1_A/α adalah tak negatif, dan kebolehsingkiran Chang memberikan struktur pada sebelah frekuensi, jadi entropi mungkin boleh melakukan kerja yang tidak mampu dilakukan oleh kuantiti L2.

Untuk menjayakan cara ini, pembantu tersebut memerlukan satu input analisis yang khusus. Pembantu itu mencari anggaran sekatan Fourier ||g_hat||_q = O(1) bagi g terbatas dan q > 2 tetap, di bawah batas atas setempat yang sesuai. Ini adalah satu sasaran. Ia belum berjaya dibuktikan.

Halangan muncul pada langkah seterusnya. Mengekstrak struktur daripada momen tinggi menghilangkan terlalu banyak jisim. Momen tinggi ialah tempat hujah bergaya Kelley-Meka memperoleh kekuatannya, dan di sini ia juga menjadi tempat hujah tersebut kehilangan apa yang perlu dikekalkannya.

Pengiraan yang paling hampir berjaya #

Pengiraan akhir wajar diberi perhatian khusus, kerana ia mempunyai kedua-dua kejayaan dan kegagalan. Ia mencapai batas titik hujung penuh di bawah hipotesis konvolusinya. Itu adalah keputusan sebenar, yang dinyatakan sedemikian, dan ia membawa syarat kelayakan "di bawah hipotesis konvolusinya". Batas itu terpakai apabila hipotesis-hipotesis tersebut dipenuhi.

Tetapi ia gagal melepasi ambang eksponen tiga yang diperlukan oleh hujah pengiraan yang dicadangkan. Petikan pembantu itu mencatat batas l3 yang lemah daripada konvolusi dan pemenggalan (cap), serta bahawa eksponen yang secara tegas lebih baik (di bawah 3) diperlukan untuk interpolasi. Dalam bahasa mudah, pengiraan itu mendarat tepat di sebelah garisan yang salah. Batas pada eksponen tiga tidak mencukupi, dan interpolasi memerlukan sesuatu yang secara tegas lebih baik.

Memang menggoda untuk membaca kegagalan tipis seperti ini sebagai "hampir berjaya". Saya memilih untuk menolak tanggapan itu. Rekod tersebut tidak menyatakan sejauh mana pengiraan itu daripada ambang berkenaan, dan jurang sebesar satu eksponen masih boleh menjadi keseluruhan masalahnya. Apa yang dinyatakan oleh rekod itu ialah pembantu tersebut membiarkan pengiraan itu tidak selesai, tanpa menerbitkan sama ada lema sekatan mahupun prinsip pengiraan jarang. Dua bahagian yang hilang itulah hutang terbuka projek ini.

Nilai sebenar lejar ini #

Amat mudah untuk menolak usaha ini sebagai satu cubaan yang gagal. Saya rasa tanggapan sedemikian salah membaca bukti yang ada, atas sebab yang terpakai jauh melangkaui teori nombor.

Dokumen ini bersifat khusus. Ia menamakan halangan di setiap persimpangan: serpihan kosong yang nadir, jisim yang hilang dalam momen grid, anggaran dua hala dalam Conlon-Fox-Zhao, jisim bertanda yang eksponen dalam p, pepenjuru luar biasa bagi kiraan kotak empat sebutan, serta sumbangan padu negatif. Ia membezakan batasan yang telah ditunjukkan daripada mekanisme yang baru diharapkan. Ia menandakan hubungan berulang untuk kebolehtambahan sebagai sesuatu yang mungkin berjaya, dan tugasan kedua sebagai sesuatu yang sedang dicari. Ia menyatakan apa yang tidak diselesaikan oleh pembantu tersebut.

Bagi seorang pengasas atau ketua teknikal yang menilai penyelidikan berbantukan AI, itulah perkara yang perlu dicari. Sistem yang mengembalikan hujah yang kelihatan lengkap dan penuh yakin adalah sukar untuk diaudit. Sistem yang mengembalikan senarai kegagalan yang dinamakan, dengan satu-satunya hasil yang hampir berjaya ditandakan secara jelas sebagai gagal melepasi ambang, boleh diaudit baris demi baris. Seseorang boleh mengambil masalah eksponen tiga, atau masalah kelompok bersandar, dan mengetahui dengan tepat di mana kedudukan permulaannya.

Terdapat juga satu corak yang wajar dinyatakan secara langsung. Banyak daripada kegagalan itu adalah kegagalan pengumpulan: korelasi lemah yang bertambah, penjajaran berjujukan yang berganda, lelaran yang kehilangan terlalu banyak, serta batas gentian yang gagal mendarab. Satu penyelesaian yang dicadangkan mensasarkan perkara ini secara terus, iaitu menjajarkan frekuensi secara serentak supaya tiada kerugian lelaran yang ditanggung. Ia dinyatakan secara berlapik, dan prasyaratnya, iaitu memulihkan S_h daripada frekuensi dengan korelasi besar, masih belum dibuktikan. Namun begitu, itulah cadangan di dalam rekod yang memberi maklum balas paling langsung kepada rungutan yang paling kerap timbul.

Persoalan terbuka yang dibangkitkan oleh rekod ini oleh itu adalah sempit dan boleh disemak. Bolehkah batas yang secara tegas lebih baik daripada eksponen tiga diperoleh di bawah hipotesis konvolusi yang sudah pun memberikan batas titik hujung? Jika ya, interpolasi mempunyai sesuatu untuk diusahakan. Jika tidak, laluan sekatan Fourier dan prinsip pengiraan jarang, yang kedua-duanya belum diterbitkan, adalah tempat seterusnya untuk dilihat.

Soalan Lazim #

Apakah dua masalah matematik yang disiasat oleh pembantu AI tersebut?

Pembantu itu mengusahakan dua tugasan berkaitan mengenai set bebas janjang: membangunkan hujah untuk masalah hasil tambah salingan, dan mencari batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap k. Walaupun ia menggunakan keputusan hasil tambah salingan tiga sebutan oleh Bloom dan Sisask sebagai garis asas, batas kuasipolinomial bagi panjang janjang sebarangan tidak berjaya dicapai.

Mengapakah batas ketumpatan atas gagal menghasilkan lema pengiraan yang diperlukan?

Batas ketumpatan atas pada serpihan berstruktur membenarkan kewujudan serpihan kosong yang nadir, bermakna batas atas mengenai berapa banyak bahagian daripada set A yang terletak di dalam sesuatu serpihan tidak menjamin bahawa wujud sebarang unsur A di situ. Merentasi pelbagai cubaan, batas atas semata-mata berulang kali menemui lubang jarang, dan momen grid berpusat yang besar boleh mencerminkan jisim yang hilang bukannya penumpuan ke atas.

Di manakah pengiraan akhir terkandas?

Pengiraan akhir mencapai batas titik hujung penuh di bawah hipotesis konvolusi yang dinyatakan, tetapi hanya menghasilkan batas l3 lemah yang gagal melepasi ambang eksponen secara tegas di bawah tiga yang diperlukan untuk interpolasi. Pembantu itu membiarkan pengiraan tersebut tidak selesai tanpa menerbitkan sama ada lema sekatan Fourier mahupun prinsip pengiraan jarang.

Rujukan #

Thomas F. Bloom and Olof Sisask, (2020). Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions ⧉. arXiv.
Zander Kelley and Raghu Meka, (2023). Strong Bounds for 3-Progressions ⧉. arXiv.
David Conlon, Jacob Fox, and Yufei Zhao, (2014). A relative Szemerédi theorem ⧉. Geometric and Functional Analysis.
Ernie Croot and Olof Sisask, (2010). A probabilistic technique for finding almost-periods of convolutions ⧉. Geometric and Functional Analysis.

Semakan terakhir 2026-11-01.

Terbit semula artikel ini

Cubaan AI Menyerang Set Bebas Janjang: Lejar tentang Apa yang Terkandas — Sebastien Rousseau

Sebuah pembantu AI mengusahakan dua masalah mengenai set bebas janjang: satu hujah untuk masalah hasil tambah salingan, dan satu batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap.

Artikel ini dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International. Penerbitan semula memerlukan atribusi kepada URL kanonik.

Cubaan AI Menyerang Set Bebas Janjang: Lejar tentang Apa yang Terkandas — Sebastien Rousseau

Sebuah pembantu AI mengusahakan dua masalah mengenai set bebas janjang: satu hujah untuk masalah hasil tambah salingan, dan satu batas kuasipolinomial bagi setiap panjang janjang tetap.

Originally published at https://sebastienrousseau.com/ms/2026-10-24-cubaan-ai-menyerang-set-bebas-janjang/ by Sebastien Rousseau.
Licensed under CC-BY-4.0.

SEBASTIEN ROUSSEAU FOUNDER · ENGINEER