Àkójọ àbájáde ìṣirò láti ọ̀dọ̀ àwòṣe inú kan ti OpenAI yanjú agbára asymptotic ti linear program Cohn-Elkies fún sphere packing, ó sì mú ìlọsíwájú àkọ́kọ́ wá sí exponent gbogbogbò ti sphere packing láti ọdún 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu gangan.
Kí ni àkójọ yìí, àti ìdí tí àbájáde kan fi yàtọ̀ #
Ìwé náà bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ìrẹ̀lẹ̀. Ó ṣàfihàn àkójọ àbájáde tí àwòṣe inú kan ti OpenAI rí, ó sì sọ pé wọ́n kan ìṣirò àti sáyẹ́ǹsì kọ̀ǹpútà onímọ̀-ìjìnlẹ̀. Àpèjúwe orísun àti ààlà ni ìyẹn, kò sì sọ bí a ṣe lo àwòṣe náà tàbí bí a ṣe yẹ ohun tí ó ṣe jáde wò. Àwọn ìbéèrè yẹn ṣe pàtàkì, orísun náà bí a ṣe ṣàkópọ̀ rẹ̀ níbí sì fi wọ́n sílẹ̀ láìsí ìdáhùn, nítorí náà àpilẹ̀kọ yìí kò ní ṣe bí ẹni pé ó yàtọ̀. Ohun tí àwọn ẹ̀tọ́ náà ṣe àtìlẹ́yìn fún ní tòótọ́ ni àkójọ àwọn àbájáde tí a kéde, àkójọ náà sì gùn tó bẹ́ẹ̀ tí ìbéèrè tó dùn mọ́ni kì í ṣe bóyá ohun kan ṣoṣo yani lẹ́nu. Ìbéèrè náà ni ìdí tí ọ̀kan nínú wọn fi yẹ fún èyí tó pọ̀ jù nínú àfiyèsí.
Ìdí rẹ̀ ni pé àbájáde sphere packing nìkan ló wà nínú àkójọ náà tí ó ti àlàfo oníye kan pa nínú ètò ìwádìí tí ó ní ìtàn gígùn tí a mọ̀ pẹ̀lú orúkọ. Àwọn yòókù yani lẹ́nu ní ẹ̀tọ́ ara wọn. Ẹgbẹ́ kan tí ó hàn kedere tí kì í ṣe sofic (nonsofic group) dáhùn ìbéèrè tí ó ti pẹ́. Ìtakò àbá Connes yanjú ohun kan tí onímọ̀ ìṣirò olókìkí kan dábàá. Ṣùgbọ́n àbájáde sphere packing jókòó ní òpin ẹ̀wọ̀n kan tí ó bẹ̀rẹ̀ láti ìlànà Fourier analysis, tí ó kọjá láàrín ojútùú gangan méjì olókìkí ní àwọn ìwọ̀n kan pàtó, tí ó sì dé ìbéèrè kan nípa àwọn ìwọ̀n gíga tí ó wà ní ṣíṣí fún ọ̀pọ̀ ọdún. Láti lóye rẹ̀ ni láti lóye ẹ̀wọ̀n yẹn.
Nítorí náà, èyí tó pọ̀ jù nínú ohun tí ó tẹ̀lé dá lórí linear program Cohn-Elkies: ohun tí ó jẹ́, ohun tí a mọ̀ nípa rẹ̀, ohun tí theorem tuntun náà sọ, àti bí a ṣe kọ́ apá sign uncertainty ti àlàyé náà. Lẹ́yìn náà, abala kúkúrú kan ṣàyẹ̀wò àwọn àbájáde yòókù nínú àkójọ náà, ọ̀kọ̀ọ̀kan bí a ṣe kéde rẹ̀ láìfi kún un.
Ètò Cohn-Elkies àti ohun tí ó ń fi ààlà sí #
Sphere packing ń béèrè bí àwọn bọ́ọ̀lù tí kò bò ara wọn ṣe lè kún àyè tó. Ìwé náà fi àwọn àmì múlẹ̀ fún èyí. Fún àwọn àárín tí ìjìnnà wọn kò kéré sí 1, ∆d ni supremum ti àwọn upper density ti àwọn bọ́ọ̀lù tí radius wọn jẹ́ 1/2 nínú Rd. Ní ọ̀nà mìíràn, ∆d dúró fún ìkún sphere packing tí ó ga jùlọ nínú Rd. Gbogbo ohun tí ó wà nínú orí àkọ́kọ́ àkójọ náà ni a fi wé iye yẹn.
Ètò Cohn-Elkies ń fún ∆d ní upper bound. A ń kọ àbájáde rẹ̀ tí ó dára jùlọ ní LPd, èyí tí a túmọ̀ sí ààlà ìkún tí ó dára jùlọ tí ètò náà ń pèsè. Ọ̀nà rẹ̀ ni ààlà Gorbachev–Cohn-Elkies, tí ó ń fún f kọ̀ọ̀kan nínú ẹ̀ka kan tí a ń pè ní Ad ní upper bound ìkún vd f(0)/(2d f̂(0)). Ní ọ̀rọ̀ mìíràn, o yan auxiliary function f kan láti inú ẹ̀ka tí a gbà, o ṣírò iye rẹ̀ ní origin àti iye Fourier transform rẹ̀ ní origin, o ṣe ìpín yẹn pẹ̀lú àwọn ohun ìwọ̀n àti ìfẹ̀sí, àbájáde rẹ̀ sì fi ààlà sí ìkún packing láti òkè. Linear program náà ń wá f tí yóò mú ààlà yìí kéré bí ó ti lè ṣeé ṣe tó.
Èyí jẹ́ ìlànà tí gbogbo ìṣòro rẹ̀ wà nínú yíyan f dáadáa. Function tí a yàn pẹ̀lú ọgbọ́n ń fúnni ní ààlà tí ó há, èyí tí a kò yàn dáadáa sì ń fúnni ní ààlà aláìlágbára tí ó ṣì jẹ́ òótọ́. Ìdí nìyẹn tí lower bound tí ó báramu nínú àbájáde tuntun fi ṣe pàtàkì tó bẹ́ẹ̀. Ó ń sọ̀rọ̀ nípa gbogbo function tí a gbà lẹ́ẹ̀kan náà, ó sì ń sọ wíwá àwọn function tí ó dára jù di ìbéèrè tí a ti pa.
Ohun tí ìlànà náà ti ṣe tẹ́lẹ̀ #
Kí a tó yíjú sí theorem tuntun, ó dára láti sọ ní pàtó ohun tí ìlànà linear programming ti Fourier analysis ti pèsè tẹ́lẹ̀, nítorí àbájáde tuntun jẹ́ ní apá kan ọ̀rọ̀ nípa bí ó ṣe lè lọ jìnnà sí i tó.
Viazovska lo ìlànà yìí láti fi hàn pé lattice E8 ń fúnni ní packing tí ó dára jùlọ ní ìwọ̀n kẹjọ. Lẹ́yìn náà Cohn, Kumar, Miller, Radchenko àti Viazovska fìdí rẹ̀ múlẹ̀ pé lattice Leech ló dára jùlọ ní ìwọ̀n kẹrìnlélógún. Àwọn wọ̀nyí jẹ́ àbájáde gangan ní ìwọ̀n kọ̀ọ̀kan, àwọn sì ni ìdí tí ìlànà náà fi ní òkìkí tí ó kọjá ipa rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí irinṣẹ́ fífi ààlà. Ní ìwọ̀n méjì pàtó, ó ń dé ìdáhùn tòótọ́.
Àwòrán àwọn ìwọ̀n gíga ṣókùnkùn jù. Cohn àti Zhao fi hàn pé linear program náà ní agbára tí ó kéré tán dọ́gba pẹ̀lú ààlà spherical code Kabatianskii–Levenshtein nígbà gbogbo. Ìdánilójú tó wúlò ni ìyẹn, nítorí ààlà Kabatianskii–Levenshtein ni exponent gbogbogbò tí ó dára jùlọ tí a mọ̀. Ṣùgbọ́n “ó kéré tán ní agbára dọ́gba” fi àǹfààní méjì sílẹ̀ ní ṣíṣí: ètò náà lè bá exponent yẹn mu gangan, tàbí kí ó borí rẹ̀. Ìwé náà sọ àbájáde rẹ̀ ní tààrà. Bóyá linear program náà ń mú exponent àtijọ́ ti sphere packing ní àwọn ìwọ̀n gíga dára sí i ṣì wà ní ṣíṣí.
Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat àti Tajdini dábàá ìwọ̀n linear program náà ní àwọn ìwọ̀n gíga. Àbá jẹ́ ohun tí ó ní àmójútó, orísun náà sì ń ṣe é bẹ́ẹ̀. Àbá ni, tí ẹ̀rí tí àwọn òǹkọ̀wé rẹ̀ ní ṣe àtìlẹ́yìn fún, kò sì sí ẹni tí ó fi hàn. Àbájáde tuntun yí ipò rẹ̀ padà.
Theorem pàtàkì #
Theorem pàtàkì ìwé náà fi ìwọ̀n exponential tí a dábàá nínú Conjectures 3.1 àti 3.2 ti ìwé ọdún 2020 yẹn hàn. Ní ìpele tí àwọn ẹ̀tọ́ náà ṣe àtìlẹ́yìn fún: àwọn òǹkọ̀wé ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù exponential gangan ti linear program Cohn-Elkies fún sphere packing. Agbára asymptotic ti ètò náà, ní ọ̀rọ̀ orísun, ni a ti ṣàwárí ní pàtó.
Àbájáde méjì tẹ̀lé tààrà láti orísun. Àkọ́kọ́ ni ààlà packing gbogbogbò tí ó dára sí i ní àwọn ìwọ̀n gíga. Èkejì ni pé a ti yanjú ìṣòro Fourier sign uncertainty tí ó báramu ní ọ̀nà asymptotic. Àbájáde oríṣi méjì ọ̀tọ̀ ni àwọn yẹn. Ọ̀kan jẹ́ nípa geometry èkejì sì jẹ́ nípa analysis, òtítọ́ náà pé theorem kan ṣoṣo mú méjèèjì wá ni àmì àkọ́kọ́ pé ìṣòro sphere packing àti ìṣòro uncertainty jẹ́ ojú méjì ti ètò kan náà.
Orísun náà tún gbé àṣeyọrí náà kalẹ̀ ní ìfiwéra pẹ̀lú ìtàn. Ó ṣàpèjúwe àbájáde náà gẹ́gẹ́ bí ìlọsíwájú àkọ́kọ́ láti ọdún 1978 sí exponent gbogbogbò ti sphere packing. Exponent Kabatianskii–Levenshtein àtijọ́ jẹ́ 0.59905576..., iye yẹn sì ni òṣùwọ̀n. Ìwé náà kọ ọ́ sílẹ̀ pé àwọn àtúnṣe spherical code tí ó tẹ̀lé e mú àwọn ohun ìpele kékeré nìkan dára sí i. Ní ọ̀nà mìíràn, fún exponent fúnra rẹ̀, èyí tí í ṣe iye ìpele àkọ́kọ́, kò sí ohun tí ó yí.
Mo rò pé ìlànà ìwòye yìí ló tọ́ fún ṣíṣe àgbéyẹ̀wò àbájáde náà. Ìlọsíwájú ìpele kékeré ń ṣàtúnṣe àwọn constant àti polynomial factor nígbà tí ó ń fi ìwọ̀n exponential sílẹ̀ níbi tí ó wà. Ìlọsíwájú exponent ń yí ìwọ̀n padà. Àwọn ẹ̀tọ́ náà ṣe àtìlẹ́yìn fún ìyàtọ̀ yẹn gangan, wọ́n sì ṣe àtìlẹ́yìn fún ọ̀rọ̀ náà pé àwọn àtúnṣe ṣáájú bọ́ sí apá ìpele kékeré rẹ̀.
| Ìwọ̀n / Ìlànà | Ìpìlẹ̀ Àtijọ́ (1978) | Linear Program Cohn-Elkies | Ẹ̀rí Tuntun Àwòṣe |
|---|---|---|---|
| Exponent Sphere Packing | Ààlà Kabatianskii–Levenshtein: 0.59905576... | Ó kéré tán ní agbára dọ́gba pẹ̀lú ààlà spherical code (Cohn–Zhao) | A fi ìwọ̀n asymptotic gangan tí Afkhami-Jeddi et al. (2020) dábàá hàn |
| Ìparí Ààlà | Àtúnṣe ohun ìpele kékeré nìkan | Ìbéèrè ṣíṣí lórí àlàfo asymptotic ní àwọn ìwọ̀n gíga | Lower bound tí ó báramu gangan: kò sí auxiliary function tí ó lè borí ìwọ̀n yìí |
| Fourier Sign Uncertainty | Àwọn ààlà àmì ọ̀tọ̀ọ̀tọ̀ ($A^+(d) < A^-(d)$) | Ó so mọ́ àwọn anti-self-Fourier test function | A ti yanjú rẹ̀ ní asymptotic; Mellin reflection ló ń darí sign uncertainty |
| Àwọn Kóòdù Àtúnṣe Àṣìṣe | Àwọn ààlà àtijọ́ ti spherical àti binary code | Wọ́n so pọ̀ ní asymptotic mọ́ àwọn ààlà packing | Ìlọsíwájú pẹ̀lú àwọn ohun exponential fún gbogbo paramita ìjìnnà tí kò yí padà |
| Òrùlé Ọ̀nà | Ìmúdára oníye ti àwọn polynomial factor | Ìmúdára ṣíṣí ti àwọn auxiliary test function $f \in \mathcal{A}_d$ | A fi òrùlé ìṣirò hàn: èrè sí i nílò àwọn ọ̀nà tí kì í ṣe Cohn-Elkies |
Ìdí tí lower bound tí ó báramu fi yí ìbéèrè padà #
Ìlọsíwájú upper bound nìkan ì bá jẹ́ ìròyìn rere. Ohun tí ó mú àbájáde yìí parí lọ́nà tí kò wọ́pọ̀ ni ìdajì rẹ̀ kejì. Lower bound tí ó báramu fi hàn pé kò sí auxiliary function Cohn-Elkies kankan tí ó lè mú exponent yìí dára sí i.
Ronú nípa ohun tí èyí ń ṣe sí ètò ìwádìí. Ṣáájú àbájáde náà, olùwádìí tí ó ní èrò tí ó dára jù fún kíkọ́ auxiliary function ní ọ̀nà tí ó bọ́gbọ́n mu sí exponent sphere packing tí ó dára sí i. Lẹ́yìn rẹ̀, a ti ti ọ̀nà yẹn ní ìpele àwọn exponent. Ìlọsíwájú èyíkéyìí sí i lórí exponent gbọ́dọ̀ wá láti òde ìlànà Cohn-Elkies, nítorí nínú rẹ̀ ìwọ̀n náà ti di gangan báyìí.
Èmi kò fẹ́ sọ àsọdùn nípa èyí. Àwọn ẹ̀tọ́ náà kò sọ pé exponent tuntun ni exponent tòótọ́ ti sphere packing, wọn kò sì sọ pé sphere packing fúnra rẹ̀ kò lè ṣe dáadáa jù. Ọ̀rọ̀ náà kan linear program náà: a ti ṣàwárí exponent rẹ̀, a kò sì lè borí rẹ̀ nípa yíyí auxiliary function padà. Bóyá ọgbọ́n mìíràn lè borí rẹ̀ jẹ́ ìbéèrè tí àwọn ẹ̀tọ́ náà kò dá sí. Ààlà mímọ́ ni ìyẹn, irú ààlà tí ó ń sọ fún ẹ̀ka ìmọ̀ kan ibi tí yóò wò tẹ̀lé ni.
Kíkà kan tí ó jẹmọ́ iṣẹ́ wà fún èyí pẹ̀lú, fún àwọn òǹkàwé tí ó bìkítà nípa ibi tí ìsapá ń lọ. Òrùlé gangan tí a mọ̀ fún ọ̀nà kan jẹ́ ìsọfúnni tó wúlò. Ó ń sọ fún ọ pé kí o dẹ́kun ìmúdára nínú ọ̀nà yẹn. Fún ẹnikẹ́ni tí ó ń pín àkókò ìwádìí, ìyípadà láti “èyí lè dára sí i” sí “èyí kò lè dára sí i” níye lórí tó àbájáde rere tí ó mọ níwọ̀n.
Spherical code àti binary code #
Àkójọ náà kò dúró sí packing. Àwọn upper bound àtijọ́ fún binary àti spherical code tí ó ní ìjìnnà tí kò yí padà dára sí i pẹ̀lú àwọn ohun exponential fún gbogbo paramita. Gbólóhùn yẹn gbé quantifier tí ó lágbára. Ìlọsíwájú náà jẹ́ pẹ̀lú àwọn ohun exponential, ó sì jẹ́ òótọ́ fún gbogbo paramita, èyí tí í ṣe ọ̀rọ̀ tí ó gbòòrò ju ìlọsíwájú ní agbègbè tí ó rọrùn lọ.
Ìsopọ̀ kan tún wà tí ó padà sí Orí 1. Kíkọ́ spherical code tún gba exponent sphere packing ti Orí 1 padà. Nítorí náà okùn méjèèjì so pọ̀: kíkọ́ ní apá kóòdù tún ṣe exponent apá packing jáde. Àwọn ẹ̀tọ́ náà kò ṣàlàyé ọ̀nà ìgbàpadà yẹn, èmi kò sì ní hùmọ̀ ọ̀kan. Ohun tí wọ́n fìdí rẹ̀ múlẹ̀ ni pé ìbáṣepọ̀ náà ń lọ ní ọ̀nà yìí, tí kíkọ́ spherical ń mú exponent kan náà jáde bí orí packing.
Ó dára láti rántí ìdí tí ìsopọ̀ yìí fi ṣe pàtàkì ní ìbámu pẹ̀lú ìtàn tí ó wà lókè. Ààlà spherical code Kabatianskii–Levenshtein ni ibi ìfiwéra fún linear program náà, theorem Cohn àti Zhao sì sọ pé ètò náà ní agbára tí ó kéré tán dọ́gba pẹ̀lú rẹ̀ nígbà gbogbo. Àwọn àbájáde tuntun mú àwọn ààlà kóòdù dára sí i bákan náà pẹ̀lú àwọn ààlà packing, wọ́n sì ń ṣe bẹ́ẹ̀ láti inú kíkọ́ tí ó padà sí exponent packing. A ń gbé apá méjèèjì lọ papọ̀.
Ìṣòro sign uncertainty #
Àbájáde kejì ti theorem pàtàkì kan Fourier sign uncertainty, ìwé náà sì fúnni ní ìtumọ̀ tó láti ya àwòrán ìrísí rẹ̀.
Fún function g kan, a túmọ̀ r(g) sí infimum ti R ≥ 0 tí ó jẹ́ pé g(x) ≥ 0 fún |x| ≥ R. Ní ọ̀rọ̀ rírọrùn, r(g) ni radius tí g kò ní iye òdì níbikíbi kọjá rẹ̀. Nígbà tí kò sí irú radius bẹ́ẹ̀, r(g) = ∞. Ìṣòro uncertainty dá lórí bí a ṣe lè mú radius yìí kéré tó fún àwọn function tí ó ní ìbáṣepọ̀ tí a ti là sílẹ̀ pẹ̀lú àwọn Fourier transform tiwọn.
Àmì ni ìbáṣepọ̀ yẹn. Ipò ĝ = ςg so function kan mọ́ Fourier transform rẹ̀ títí dé àmì. Àwọn àmì +1 àti −1 fúnni ní ìṣòro uncertainty àkọ́kọ́ àti ìṣòro àfikún, ní ìtẹ̀léra. Cohn àti Gonçalves ṣàfihàn ẹlẹgbẹ́ anti-self-Fourier, èyí tí í ṣe ìṣòro àfikún, wọ́n sì so ó mọ́ sphere packing. Ìsopọ̀ yẹn ni afárá tí àbájáde sphere packing fi ń yanjú ìṣòro uncertainty ní asymptotic.
Ìṣòro àfikún kì í ṣe ohun àrà lásán ti analysis mímọ́. Nínú spinless modular bootstrap, modular S-antisymmetry ń ṣẹ̀dá àwọn anti-self-Fourier test function tí àmì wọn ní ìkẹyìn ń darí spectral gap. Orísun náà tọ́ka sí Hartman, Mazáč àti Rastelli àti ìwé Afkhami-Jeddi et al. fún èyí. Nítorí náà ìbéèrè kan tí ó bẹ̀rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí ọ̀rọ̀ nípa àwọn function àti àwọn transform wọn tún fara hàn nínú àyíká kan tí orúkọ rẹ̀ dún bí ti physics, ìyẹn spectral gap. Àwọn ẹ̀tọ́ náà kò kọjá ọ̀nà ìlà kan, èmi náà kò ní kọjá, ṣùgbọ́n ó jẹ́ ìránnilétí pé ìṣòro uncertainty ní ẹlẹgbẹ́ lóde sphere packing.
Appendix A fi ìfiwéra kún un láàrín àwọn ìṣòro méjèèjì. Ó ṣàkíyèsí pé A+(d) < A−(d) fún gbogbo d. Ọ̀rọ̀ ni ìyẹn pé àwọn ìṣòro méjèèjì yàtọ̀ ní gbogbo ìwọ̀n, tí iye àkọ́kọ́ kéré ju èkejì lọ ní tòótọ́. Àwọn ẹ̀tọ́ náà kò fúnni ní ìtumọ̀ mìíràn, inequality náà sì yẹ fún àkíyèsí nítorí pé ó jẹ́ òótọ́ fún gbogbo d láìsí àyàfi.
Nínú àlàyé náà: àròpín, píparẹ́ àti ìṣirò ìwúwo #
Ìwé náà ní àwọn ọ̀rọ̀ ìmọ̀ ẹ̀rọ púpọ̀ tí ó fúnni ní ìmọ̀lára bí a ṣe kọ́ ìtúpalẹ̀ uncertainty. Àjákù ni wọ́n, èmi yóò sì gbé wọn kalẹ̀ gẹ́gẹ́ bí àjákù, ṣùgbọ́n papọ̀ wọ́n ya àwòrán ọ̀nà kan.
Ẹ jẹ́ ká bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú symmetry. A túmọ̀ àròpín yíyípo (rotational average) nípa lílo normalised Haar measure lórí O(d). Ṣíṣe àròpín function kan lórí àwọn yíyípo ń ṣẹ̀dá radial function, ète rẹ̀ sì ni pé ó ń mú ìṣòro náà rọrùn láìfọ́ àwọn ìdíwọ́. Orísun náà sọ pé rotational averaging ń pa gbogbo ipò àmì mọ́ nínú àkójọ ìdíwọ́ ìṣòro náà, tí a fi àmì (2) sí. Ó fi kún un pé bí ĝ = ςg, nígbà náà r(Rg) ≤ r(g), níbi tí Rg jẹ́ rotational average ti g. Nítorí náà àròpín kì í mú sign radius burú sí i rárá. Bákan náà, ní ọ̀rọ̀ orísun, Rg ≠ 0 nígbàkúùgbà tí g ≠ 0 bá di aláìní iye òdì ní ìkẹyìn, nítorí náà àròpín kì í pa function kan tí ó ní ìhùwàsí àmì tí ó tọ́ ní ìjìnnà gígùn run.
Àwọn òtítọ́ mẹ́ta yẹn papọ̀ dá ìdínkù sí àwọn radial function láre. Ìdínkù náà kò ná ohunkóhun nínú radius, ó ń pa àwọn ipò àmì mọ́, kò sì sọ function náà di òdo. Ìrísí àlàyé symmetry tí ó wọ́pọ̀ nìyẹn, àwọn ẹ̀tọ́ náà sì fìdí ọ̀kọ̀ọ̀kan nínú àwọn èròjà rẹ̀ múlẹ̀.
Lẹ́yìn náà, origin. Function g = h − ĥ ń parẹ́ ní origin. Èyí jẹ́ irú òtítọ́ kékeré tí ó ń ṣe iṣẹ́ ńlá nínú ẹ̀rí, nítorí ààlà Cohn-Elkies kan àwọn iye ní origin tààrà, function tí ó ń parẹ́ níbẹ̀ sì ń hùwà yàtọ̀ sí èyí tí kò parẹ́. A tún kọ ìgbésẹ̀ àtúnṣe kan tí ó jẹmọ́ ọ sílẹ̀: function tí a ti ṣàtúnṣe gn tẹ́ gn(0) = 0 àti gn → g nínú L1 lọ́rùn. Nítorí náà ọ̀wọ́ àwọn function tí a ti ṣàtúnṣe, tí ọ̀kọ̀ọ̀kan ń parẹ́ ní origin, ń sún mọ́ g ní ìtumọ̀ L1. Èyí jẹ́ kí àlàyé náà ṣiṣẹ́ pẹ̀lú àwọn function tí ó tẹ́ ipò origin lọ́rùn gangan nígbà tí wọ́n ṣì ń sún mọ́ àfojúsùn náà.
Lẹ́yìn náà ìdíwọ́ oníye kan wà. Ìṣirò ìwúwo (mass estimate) fi agbára mú 1/a ≥ (1/π − o(1))√d. Àwọn ẹ̀tọ́ náà kò túmọ̀ a, nítorí náà èmi kò lè sọ ohun tí ó ń wọ̀n, èmi kò sì ní fi àmì sí i. Ohun tí a lè sọ ni ìrísí ìparí náà: lower bound lórí 1/a tí ó ń dàgbà bí square root ti ìwọ̀n, pẹ̀lú constant 1/π àti àtúnṣe tí ó ń parẹ́. Ìwọ̀n square root ti ìwọ̀n dà bí ìwọ̀n àdáyébá fún geometry ìwọ̀n gíga, ṣùgbọ́n àkíyèsí tèmi ni ìyẹn nípa ìrísí gbólóhùn náà, àwọn ẹ̀tọ́ náà kò sì gbé e kalẹ̀ gẹ́gẹ́ bí ọ̀nà.
Àwòrán Mellin #
Apá kan sí i nínú àpótí irinṣẹ́ fara hàn nínú ìwé náà, òun ló sì ṣàlàyé jù lọ ní kedere ìdí tí radial Fourier analysis fi ṣeé ṣàkóso níbí. Lẹ́yìn Mellin transform, radial Fourier transform ń yí Mellin variable padà bí dígí (reflection). Ọ̀rọ̀ kúkúrú ni ìyẹn nípa bí transform kan ṣe ń ṣiṣẹ́. Fourier transform ti radial function kan, tí ó sábà máa ń jẹ́ integral operator tí ó ṣòro láti ronú nípa rẹ̀ tààrà, di reflection nínú Mellin variable. Àwọn reflection wà lára àwọn operator tí ó rọrùn jùlọ tí ó wà.
Abala kan náà kọ ipò analytic kan sílẹ̀ ní apá kejì. Schwartz decay ti g ń fúnni ní decay kíákíá ti Φg bí v → +∞. Níbí Φg ni ohun tí a rí nínú ìtúpalẹ̀ Mellin, v sì ni variable rẹ̀. Ìsopọ̀ náà kọ́ni ní nǹkan: ànímọ́ reflection ń bójú tó ètò, Schwartz decay sì ń bójú tó ìṣàkóso ní infinity. Ẹ̀rí ní ọ̀nà yìí nílò méjèèjì, nítorí ètò láìsí decay ń fi àwọn integral sílẹ̀ tí ó lè má sún mọ́ ibìkan, decay láìsí ètò kò sì fi nǹkan kan sílẹ̀ láti ṣírò.
Ìwé náà tún ṣàkíyèsí pé Sd ni agbègbè unit sphere, tí ó ń wọlé gẹ́gẹ́ bí normalising factor nígbà tí a bá ń yí àwọn radial integral padà láàrín sphere àti ìlà. Kókó ìtumọ̀ ni ìyẹn, ó sì jẹ́ irú ìṣirò tí ó ń pinnu bóyá àwọn constant nínú ààlà ìkẹyìn yóò jáde dáadáa.
Mo fẹ́ ṣe kedere nípa ohun tí àwọn àjákù wọ̀nyí jẹ́. Wọn kì í ṣe ẹ̀rí náà. Àwọn ẹ̀tọ́ náà fúnni ní ọ̀rọ̀, kì í ṣe derivation, kò sì yẹ kí òǹkàwé kankan tún gbogbo àlàyé náà kọ́ láti inú wọn. Ohun tí wọ́n fi hàn ni pé ìtúpalẹ̀ náà da ìdínkù symmetry, ipò kan ní origin, ìṣirò ìwúwo oníye, àti transform kan tí iṣẹ́ rẹ̀ rọrùn lẹ́yìn yíyí variable padà pọ̀. Ìdàpọ̀ yẹn wọ́pọ̀ fún àwọn ìṣòro extremal ti Fourier analysis, èyí tí ó mú kí pípé àbájáde ìkẹyìn yẹ fún àkíyèsí sí i, kì í ṣe dín kù. Àwọn irinṣẹ́ tí ó dà bí èyí tí ó wọ́pọ̀ tó láti dé ìdáhùn tí ó mú.
Àwọn yòókù nínú àkójọ náà #
Orí sphere packing jẹ́ apá kan péré nínú ìwé náà, àwọn àbájáde yòókù sì yẹ fún ìṣirò tí ó tọ́. A gbé ọ̀kọ̀ọ̀kan kalẹ̀ níbí gangan bí àwọn ẹ̀tọ́ náà ṣe fúnni.
Nínú group theory, a kọ́ ẹgbẹ́ kan tí ó hàn kedere tí kì í ṣe sofic, tí ó dáhùn ìbéèrè tí ó ti pẹ́ nípa bóyá gbogbo ẹgbẹ́ tí a lè kà jẹ́ sofic. Ẹ̀rí náà da iṣẹ́ Kun àti Kun–Thom pọ̀ mọ́ àlàyé combinatorial ti expander-matching, tí a mú ṣẹ nípa lílo binary Leavitt algebra àti ẹgbẹ́ V ti Thompson. Ọ̀rọ̀ náà “tí ó hàn kedere” ní ìwúwo níbí: àbájáde náà jẹ́ kíkọ́, kì í ṣe àlàyé wíwà.
Nínú operator algebras, a kọ́ àwọn ẹgbẹ́ àìlópin tí kò ní isomorphism láàrín méjì èyíkéyìí, tí wọ́n ní property (T), tí wọ́n sì ní group von Neumann algebra kan náà. Èyí tako àbá Connes, ó sì dáhùn ìbéèrè finite-to-one kan tí ó jẹmọ́ ọ láti ọ̀dọ̀ Popa. Ìbéèrè méjì olókìkí ṣubú sí kíkọ́ kan ṣoṣo.
Nínú arithmetic complexity, ìwé náà fúnni ní àwọn lower bound fún permanent. Àwọn division-free circuit nílò Ω(n² log log n) gate, nígbà tí àwọn formula nílò Ω(n⁴ / log n) leaf. Ààlà méjì ni àwọn wọ̀nyí fún àwòṣe ìṣirò méjì, ìwé náà sì gbé wọn kalẹ̀ ẹ̀gbẹ́ sí ẹ̀gbẹ́.
Nínú quantum information, a fi exponential parallel repetition hàn fún gbogbo finite two-player entangled game. Orísun náà sọ pé èyí fẹ̀ ìlànà repetition àtijọ́ kọjá àwọn ẹ̀ka pàtàkì ti àwọn eré quantum tí a ti ṣe ìtọ́jú wọn tẹ́lẹ̀. Quantifier náà tún yọ jáde: gbogbo finite two-player entangled game, láìsí ìdíwọ́ sí ẹ̀ka pàtàkì kan.
Nínú hardness of approximation, ìdínkù tààrà láti 3SAT fúnni ní n^(1/400)-factor hardness fún Euclidean closest vector problem, pẹ̀lú àwọn àbájáde tí ó jẹmọ́ ọ fún binary decoding àti àwọn lattice norm mìíràn. Exponent 1/400 kéré, mo sì fẹ́ ròyìn rẹ̀ bí a ṣe kọ ọ́ dípò kí n ṣe é lọ́ṣọ̀ọ́. Àwọn ẹ̀tọ́ náà pe ìdínkù náà ní tààrà, wọ́n sì so àwọn àbájáde fún binary decoding àti àwọn norm mìíràn mọ́ ọn.
Nínú convex geometry, a fi volume upper bound tí ó mú (n + 1)^n / n! hàn ní gbogbo ìwọ̀n fún àwọn convex body tí barycentre wọn jẹ́ interior lattice point kan ṣoṣo tí wọ́n ní. Mímú àti gbígbòòrò sí gbogbo ìwọ̀n jẹ́ apá ẹ̀tọ́ náà méjèèjì.
Nínú Ramsey theory, lower bound superexponential tuntun kan fi hàn pé Rk(3) ń dàgbà bí k^Θ(k). Àti nínú extremal graph theory, àwọn kíkọ́ bipartite graph ọ̀tọ̀ọ̀tọ̀ tako àbá méjì: àbá compactness ti Erdős àti Simonovits àti àbá degeneracy kan ti Erdős.
Kíka àkójọ náà lápapọ̀ #
Yóò rọrùn láti ṣe àkójọ yìí bí àpótí ẹ̀bùn, nítorí náà ó dára láti sọ ohun tí a lè àti ohun tí a kò lè parí láti inú rẹ̀.
Ohun tí a lè sọ ni pé ìwé náà ròyìn àbájáde ní ó kéré tán ẹ̀ka mẹ́jọ, pé a ṣàpèjúwe púpọ̀ nínú wọn gẹ́gẹ́ bí èyí tí ó dáhùn tàbí tako àwọn àbá olókìkí, àti pé orí sphere packing wá pẹ̀lú lower bound tí ó báramu tí ó mú àbájáde rẹ̀ parí nínú ìlànà rẹ̀. Àwọn àbá tí ọ̀rọ̀ kàn gbé orúkọ Connes, Popa, Erdős àti Simonovits, Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat àti Tajdini sì ni wọ́n dábàá ìwọ̀n sphere packing. Àwọn àbájáde tí ó yanjú àwọn ìbéèrè olókìkí rọrùn láti ṣe àgbéyẹ̀wò nítorí a béèrè ìbéèrè náà kí ìdáhùn tó wà.
Ohun tí a kò lè sọ, lórí àwọn ẹ̀tọ́ wọ̀nyí nìkan, ni ohunkóhun nípa bí àwòṣe náà ṣe ń ṣiṣẹ́, ìgbìyànjú mélòó ni ó nílò, bí a ṣe ṣàyẹ̀wò ohun tí ó ṣe jáde, tàbí bí ó ṣe fi wé ìsapá ènìyàn. Orísun náà sọ pé àwòṣe inú kan ti OpenAI ló rí àwọn àbájáde náà, àwọn ẹ̀tọ́ náà sì dúró síbẹ̀. Òǹkàwé tí ó fẹ́ wọn ìjẹ́pàtàkì àkójọ náà gẹ́gẹ́ bí ẹ̀rí nípa ìṣirò ẹ̀rọ nílò ìsọfúnni tí àwọn ẹ̀tọ́ náà kò ní. Èmi yóò kọ ìdẹwò láti fi ìtàn tí ó dún bí ẹni pé ó ṣeé gbàgbọ́ kún àlàfo yẹn.
Síbẹ̀ ipò kan wà tí ó yẹ láti dì mú. Àwọn àbájáde náà yàtọ̀ síra ní ọgbọ́n: ẹgbẹ́ tí kì í ṣe sofic ń lo binary Leavitt algebra àti ẹgbẹ́ V ti Thompson, àbájáde sphere packing ń lo Fourier analysis àti Mellin transforms, closest vector hardness sì ń lo ìdínkù láti 3SAT. Àkójọ tí ó kan ilẹ̀ ìmọ̀ ẹ̀rọ tó bẹ́ẹ̀ kì í ṣe ọjà ọgbọ́n kan ṣoṣo tí a lò léraléra. Ohunkóhun tí ó mú àwọn àbájáde wọ̀nyí jáde ń ṣiṣẹ́ ní ọ̀pọ̀ èdè ìṣirò, àwọn ẹ̀tọ́ náà sì ṣe àtìlẹ́yìn fún ó kéré tán ìyẹn.
Ohun Tí Èyí Túmọ̀ Sí fún Ẹ̀ka Kọ̀ọ̀kan #
Ṣíṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù Cohn-Elkies ní àwọn ìwọ̀n gíga ní pàtó, àti àwọn àbájáde ìṣirò tí ó bá a rìn, ní ipa lórí ọ̀pọ̀ ẹ̀ka ìṣirò onímọ̀-ìjìnlẹ̀ àti ti ìlò.
Ìṣirò mímọ́ àti discrete geometry #
Fún àwọn onímọ̀ ìṣirò tí ń ṣiṣẹ́ nínú geometry ìwọ̀n gíga àti harmonic analysis, ṣíṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù Cohn-Elkies gangan yí ilẹ̀ ìwádìí padà. Nítorí pé lower bound tí ó báramu fi hàn pé kò sí auxiliary function nínú $\mathcal{A}_d$ tí ó lè borí exponent tuntun, àwọn olùwádìí lè dẹ́kun wíwá àwọn radial test function tí ó dára jù nínú ìlànà linear programming àtijọ́. Ìlọsíwájú sí àwọn sphere packing tí ó kún jù tàbí àwọn universal bound tí ó há jù gbọ́dọ̀ ṣàwárí àwọn ọgbọ́n non-linear programming báyìí, àwọn semidefinite hierarchy ìpele gíga, tàbí àwọn kíkọ́ geometry tí ó yàtọ̀ pátápátá.
Cryptography àti ààbò lattice #
Lattice-based cryptography, tí ó jẹ́ kókó àwọn ìlànà post-quantum bíi ML-KEM àti ML-DSA, gbára lé ìṣòro tí a rò pé ó wà nínú wíwá àwọn vector tí ó kúrú jùlọ tàbí tí ó súnmọ́ jùlọ nínú àwọn Euclidean lattice ìwọ̀n gíga. Ìdínkù tààrà láti 3SAT tí ó fìdí $n^{1/400}$-factor hardness múlẹ̀ fún Euclidean Closest Vector Problem (CVP), pẹ̀lú àwọn òrùlé exponential tí ó há jù lórí sphere packing àti spherical code, mú àwọn ìpìlẹ̀ onímọ̀-ìjìnlẹ̀ ti àwọn lattice reduction láti worst-case sí average-case lágbára sí i láìsọ àwọn security parameter gidi di aláìlágbára.
Ìfihàn theorem aládàáṣe àti foundation models #
Fún àwọn ẹgbẹ́ ìwádìí tí ń ṣe àwọn reasoning system àti automated theorem prover, ìbú àti ìjìnlẹ̀ ìmọ̀ ẹ̀rọ àkójọ náà pèsè òṣùwọ̀n tí ó yani lẹ́nu. Dípò ṣíṣe àwọn ẹ̀yà àtọwọ́dá ti àwọn ẹ̀rí tí a mọ̀, àwòṣe inú náà kojú àwọn ìṣòro ṣíṣí nínú group theory (kíkọ́ ẹgbẹ́ tí ó hàn kedere tí kì í ṣe sofic nípasẹ̀ ẹgbẹ́ V ti Thompson), operator algebras (títako àbá Connes), àti arithmetic complexity (àwọn lower bound ti permanent). Ó fi hàn pé àwọn neural architecture lè la Fourier analysis jíjìn àti combinatorial matching kọjá, bí ìṣàyẹ̀wò àti ìyẹ̀wò ẹ̀rí bá ṣì le koko.
Ìparí #
Ṣíṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti linear program Cohn-Elkies fún sphere packing ti orí pàtàkì kan pa nínú geometric analysis. Nípa fífi àbá ọdún 2020 ti Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat àti Tajdini hàn àti fífi ìlọsíwájú àkọ́kọ́ sí exponent gbogbogbò ti sphere packing láti ọdún 1978 múlẹ̀, iṣẹ́ náà gbé ìpìlẹ̀ ìṣirò tí kò ṣeé mì kalẹ̀. Pẹ̀lú lower bound tí ó báramu tí ó fìdí rẹ̀ múlẹ̀ pé kò sí auxiliary function Cohn-Elkies tí ó lè mú èrè exponential sí i wá, theorem náà yanjú agbára asymptotic ti linear program náà, ó sì darí ọjọ́ iwájú geometry ìwọ̀n gíga sí àwọn ojú ọ̀run analytic tuntun pátápátá.
Àwọn Ìbéèrè Tí A Sábà Ń Bèèrè #
Kí ni ìjẹ́pàtàkì ààlà Kabatianskii–Levenshtein?
Tí a fìdí rẹ̀ múlẹ̀ ní ọdún 1978, ààlà Kabatianskii–Levenshtein pèsè asymptotic upper bound exponent ti 0.59905576... lórí ìkún sphere packing ní àwọn ìwọ̀n gíga. Fún ohun tí ó ju ẹ̀wádún mẹ́rin lọ, àwọn àtúnṣe tí ó tẹ̀lé e mú àwọn algebraic factor ìpele kékeré nìkan dára sí i, wọ́n sì fi ìwọ̀n exponential àkọ́kọ́ sílẹ̀ láìfọwọ́kàn títí di àbájáde yìí.
Kí ló dé tí lower bound tí ó báramu fi ṣe pàtàkì tó bẹ́ẹ̀?
Upper bound nìkan fi ohun tí linear program náà ṣe àṣeyọrí hàn, ṣùgbọ́n lower bound tí ó báramu fi hàn pé kò sí yíyan auxiliary function f kankan nínú ẹ̀ka tí Cohn-Elkies gbà, A(d), tí ó lè mú exponent tí ó kéré jù jáde. Èyí gbé òrùlé pátápátá kalẹ̀ lórí ìlànà linear programming fúnra rẹ̀.
Báwo ni ìṣòro Fourier sign-uncertainty ṣe jẹmọ́ sphere packing?
Cohn àti Gonçalves fìdí rẹ̀ múlẹ̀ pé ìṣòro àfikún ti Fourier sign-uncertainty (níbi tí g_hat = -g) so pọ̀ tímọ́tímọ́ mọ́ àwọn ààlà sphere packing. Nípasẹ̀ rotational averaging àti àwọn reflection ti Mellin transform, ojútùú asymptotic sí ètò Cohn-Elkies yanjú ìṣòro Fourier sign-uncertainty tààrà.
Ṣé àbájáde yìí ba lattice-based cryptography jẹ́?
Rárá. Bí theorem náà tilẹ̀ mú àwọn upper bound lórí bí àwọn bọ́ọ̀lù ṣe lè kún pọ̀ tó ní àwọn ìwọ̀n gíga mú sí i, tí ó sì fìdí $n^{1/400}$-factor hardness múlẹ̀ fún Closest Vector Problem, kò pèsè àwọn algorithm lattice reduction ní polynomial time. Àwọn lattice cryptosystem tí a ń lò ṣì wà ní ààbò kúrò lọ́wọ́ àwọn ìkọlù quantum àti àtijọ́ tí a mọ̀.
Àwọn Ìtọ́kasí #
- Nima Afkhami-Jeddi et al., (2020). Àwọn sphere packing ìwọ̀n gíga àti modular bootstrap ⧉. Journal of High Energy Physics.
- Henry Cohn and Noam Elkies, (2003). Àwọn upper bound tuntun lórí sphere packing I ⧉. Annals of Mathematics.
- Henry Cohn and Felipe Gonçalves, (2019). Ìlànà uncertainty tí ó dára jùlọ nínú Fourier analysis ⧉. PNAS.
- Henry Cohn and Yufei Zhao, (2014). Àwọn ààlà sphere packing nípasẹ̀ spherical code ⧉. Duke Mathematical Journal.
- G. A. Kabatianskii and V. I. Levenshtein, (1978). Àwọn ààlà fún packing lórí sphere àti nínú àyè ⧉. Problems of Information Transmission.
- Maryna S. Viazovska, (2017). Ìṣòro sphere packing ní ìwọ̀n 8 ⧉. Annals of Mathematics.
Àyẹ̀wò àkọ́kọ́ .
Àyẹ̀wò àkọ́kọ́ .
Tẹ àpilẹ̀kọ yìí jáde lẹ́ẹ̀kan sí i
Daakọ ọ̀nà fún Medium
# Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau > Originally published at [https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/](https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/) Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu. Read the full article on sebastienrousseau.com: https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/
Daakọ ọ̀nà fún Mastodon
Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu. https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/
Daakọ tí a ṣe ìtọ́nà fún LinkedIn
Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu. Èyí ni àwọn èrò àgbékalẹ̀ pàtàkì: - Kí ni àkójọ yìí, àti ìdí tí àbájáde kan fi yàtọ̀. Ìwé náà bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ìrẹ̀lẹ̀. - Ètò Cohn-Elkies àti ohun tí ó ń fi ààlà sí. Sphere packing ń béèrè bí àwọn bọ́ọ̀lù tí kò bò ara wọn ṣe lè kún àyè tó. - Ohun tí ìlànà náà ti ṣe tẹ́lẹ̀. Kí a tó yíjú sí theorem tuntun, ó dára láti sọ ní pàtó ohun tí ìlànà linear programming ti Fourier analysis ti pèsè tẹ́lẹ̀, nítorí àbájáde tuntun jẹ́ ní apá kan ọ̀rọ̀ nípa bí ó ṣe lè lọ jìnnà sí i tó. - Theorem pàtàkì. Theorem pàtàkì ìwé náà fi ìwọ̀n exponential tí a dábàá nínú Conjectures 3.1 àti 3.2 ti ìwé ọdún 2020 yẹn hàn. Kí ni ọ̀nà àgbékalẹ̀ ilé-iṣẹ́ yín sí àwọn ìpèníjà tí a sọ nínú àpilẹ̀kọ yìí? → https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/ #CohnElkies #SpherePacking #LinearProgramming #ExponentKabatianskiiLevenshtein #LowerBoundTíÓBáramu Sebastien Rousseau | CC-BY-4.0
Tọka àpilẹkọ yìí
Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau
Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu.
BibTeX
@online{rousseau2026àwòṣe,
author = {Rousseau, Sebastien},
title = {{Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau}},
year = {2026},
url = {https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/},
urldate = {2026}
}RIS
TY - GEN AU - Rousseau, Sebastien TI - Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau PY - 2026 UR - https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/ ER -
Vancouver
Rousseau S. Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. 2026 Oct 5. Available from: https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/
Chicago
Rousseau, Sebastien. "Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau." sebastienrousseau.com. October 5, 2026. https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/.
APA
Rousseau, S. (2026, October 5). Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/
Tun àpilẹkọ yìí jade
Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau
Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu.
A ti fun àpilẹkọ yìí ni iwe-ẹri labẹ Creative Commons Attribution 4.0 International. Atunjade nilo idanimọ si URL akọkọ.
Àwòṣe inú OpenAI ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies — Sebastien Rousseau Àwòṣe inú OpenAI kan ṣàwárí ìwọ̀n ìdínkù gangan ti ètò Cohn-Elkies fún sphere packing: ìlọsíwájú exponent àkọ́kọ́ láti 1978, pẹ̀lú lower bound tí ó báramu. Originally published at https://sebastienrousseau.com/yo/2026-10-05-awose-inu-openai-sawari-iwon-idinku/ by Sebastien Rousseau. Licensed under CC-BY-4.0.