OpenAI च्या एका अंतर्गत मॉडेलकडून मिळालेल्या गणितीय निकालांचा एक संग्रह Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामची अनंतस्पर्शी क्षमता निश्चित करतो. तो १९७८ नंतर सामान्य स्फीअर-पॅकिंग घातांकात पहिली सुधारणा देतो, आणि त्यासोबत अचूक जुळणारी खालची सीमाही.
संग्रह काय आहे, आणि एक निकाल वेगळा का दिसतो #
दस्तऐवजाची सुरुवात नम्रपणे होते. तो OpenAI च्या एका अंतर्गत मॉडेलकडून मिळालेल्या निकालांचा संग्रह सादर करतो, आणि म्हणतो की ते गणित आणि सैद्धांतिक संगणकशास्त्रापर्यंत पसरलेले आहेत. हे उगम आणि व्याप्तीचे वर्णन आहे, आणि मॉडेल कसे वापरले गेले किंवा त्याचे आउटपुट कसे तपासले गेले हे त्यात सांगितलेले नाही. हे प्रश्न महत्त्वाचे आहेत, आणि येथे सारांशित केलेला स्रोत त्यांची उत्तरे देत नाही, त्यामुळे हा लेख वेगळे भासवणार नाही. दावे ज्याला आधार देतात ती म्हणजे सांगितलेल्या निकालांची एक यादी, आणि ही यादी इतकी लांब आहे की कोणतीही एक बाब प्रभावी आहे का, हा प्रश्न उरत नाही. प्रश्न असा आहे की त्यातील एका निकालाकडे सर्वाधिक लक्ष का द्यावे.
कारण असे की स्फीअर-पॅकिंग निकाल हा संग्रहातील एकमेव असा निकाल आहे जो दीर्घ, नामांकित इतिहास असलेल्या एका कार्यक्रमातील संख्यात्मक तफावत बंद करतो. इतर निकालही स्वतःच्या जागी लक्षवेधी आहेत. एक स्पष्ट nonsofic समूह एका जुन्या प्रश्नाचे उत्तर देतो. Connes यांच्या अनुमानाचे खंडन एका नामवंत गणितज्ञाने मांडलेली गोष्ट निकाली काढते. पण स्फीअर-पॅकिंग निकाल अशा साखळीच्या शेवटी बसतो जी एका Fourier-विश्लेषणात्मक चौकटीपासून सुरू होते, वेगवेगळ्या मितींमधील दोन प्रसिद्ध अचूक उकलींमधून जाते, आणि उच्च मितींविषयीच्या अशा प्रश्नापर्यंत पोहोचते जो वर्षानुवर्षे खुला राहिला. तो समजून घेणे म्हणजे ती साखळी समजून घेणे.
त्यामुळे पुढचा बहुतांश भाग Cohn-Elkies लिनियर प्रोग्रामविषयी आहे: तो काय आहे, त्याच्याबद्दल काय ज्ञात होते, नवे प्रमेय काय सांगते, आणि युक्तिवादाची चिन्ह-अनिश्चिततेची बाजू कशी रचली आहे. त्यानंतर एक छोटा विभाग संग्रहातील उर्वरित निकालांचा आढावा घेतो, प्रत्येक जसा सांगितला आहे तसाच, त्यापलीकडे नाही.
Cohn-Elkies प्रोग्राम आणि तो कशाला सीमा घालतो #
स्फीअर पॅकिंग विचारते की एकमेकांवर न येणारे गोळे अवकाश किती दाटपणे भरू शकतात. दस्तऐवज यासाठी संकेतन ठरवतो. किमान १ अंतरावर असलेल्या केंद्रांसाठी, ∆d म्हणजे Rd मधील त्रिज्या-1/2 असलेल्या गोळ्यांच्या वरच्या घनतांचे सर्वोच्च मूल्य. दुसऱ्या शब्दांत, ∆d म्हणजे Rd मधील कमाल स्फीअर-पॅकिंग घनता. संग्रहाच्या पहिल्या प्रकरणातील सर्व काही याच राशीच्या तुलनेत मोजले आहे.
Cohn-Elkies प्रोग्राम ∆d वर एक वरची सीमा देतो. त्याचे इष्टतम आउटपुट LPd असे लिहिले जाते, आणि ते प्रोग्रामने दिलेली इष्टतम घनता सीमा म्हणून व्याख्यित आहे. त्याची कार्यपद्धती म्हणजे Gorbachev–Cohn-Elkies सीमा, जी Ad नावाच्या वर्गातील प्रत्येक f ला घनतेची वरची सीमा vd f(0)/(2d f̂(0)) देते. शब्दांत सांगायचे तर, तुम्ही स्वीकार्य वर्गातून एक सहायक फलन f निवडता, मूळबिंदूवरील त्याचे मूल्य आणि मूळबिंदूवरील त्याच्या Fourier रूपांतराचे मूल्य काढता, घनफळ आणि प्रमाण गुणकांसह ते गुणोत्तर तयार करता, आणि निकाल पॅकिंग घनतेला वरून सीमा घालतो. लिनियर प्रोग्राम असे f शोधतो जे ही सीमा शक्य तितकी लहान करेल.
ही अशी चौकट आहे जिथे सगळी अडचण f नीट निवडण्यात आहे. चतुराईने निवडलेले फलन घट्ट सीमा देते, आणि वाईट निवडलेले फलन कमकुवत पण तरीही वैध सीमा देते. म्हणूनच नव्या निकालातील जुळणारी खालची सीमा इतकी महत्त्वाची आहे. ती एकाच वेळी प्रत्येक स्वीकार्य फलनाविषयी बोलते, आणि अधिक चांगल्या फलनांच्या शोधाचे रूपांतर एका बंद प्रश्नात करते.
चौकटीने आधीच काय साध्य केले होते #
नव्या प्रमेयाकडे वळण्यापूर्वी, Fourier-विश्लेषणात्मक लिनियर-प्रोग्रामिंग चौकटीने आधीच काय दिले होते हे नेमकेपणाने सांगणे योग्य ठरेल, कारण नवा निकाल अंशतः ती आणखी किती पुढे जाऊ शकते याविषयीचे विधान आहे.
Viazovska यांनी ही चौकट वापरून सिद्ध केले की आठ मितींमध्ये E8 लॅटिस इष्टतम पॅकिंग देतो. त्यानंतर Cohn, Kumar, Miller, Radchenko आणि Viazovska यांनी चोवीस मितींमध्ये Leech लॅटिसची इष्टतमता सिद्ध केली. हे स्वतंत्र मितींमधील अचूक निकाल आहेत, आणि त्यांच्यामुळेच या चौकटीची प्रतिष्ठा सीमा काढण्याच्या साधनापलीकडे आहे. दोन विशिष्ट मितींमध्ये ती खऱ्या उत्तरापर्यंत पोहोचते.
उच्च-मितीय चित्र धूसर होते. Cohn आणि Zhao यांनी सिद्ध केले की लिनियर प्रोग्राम नेहमी किमान Kabatianskii–Levenshtein गोलीय-कोड सीमेइतका मजबूत असतो. ही उपयुक्त हमी आहे, कारण Kabatianskii–Levenshtein सीमा हा सर्वोत्तम ज्ञात सामान्य घातांक होता. पण "किमान तितका मजबूत" दोन शक्यता खुल्या ठेवतो: प्रोग्राम त्या घातांकाशी अचूक जुळू शकतो, किंवा त्याला मागे टाकू शकतो. दस्तऐवज याचा परिणाम थेट सांगतो. लिनियर प्रोग्राम पारंपरिक उच्च-मितीय स्फीअर-पॅकिंग घातांक सुधारतो का, हा प्रश्न खुला राहिला होता.
Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat आणि Tajdini यांनी लिनियर प्रोग्रामच्या उच्च-मितीय दराचे अनुमान मांडले होते. ते अनुमान ही एक सावध गोष्ट आहे, आणि स्रोतही तिला तसेच मानतो. ते एक अनुमान होते, लेखकांकडे जे काही पुरावे होते त्यांच्या आधारावर, आणि कोणीही ते सिद्ध केले नव्हते. नवा निकाल त्याचे स्थान बदलतो.
मुख्य प्रमेय #
दस्तऐवजाचे मुख्य प्रमेय त्या २०२० च्या शोधनिबंधातील अनुमान ३.१ आणि ३.२ मध्ये अनुमानित केलेला घातांकीय दर सिद्ध करते. दावे ज्या पातळीवर आधार देतात त्या पातळीवर सांगायचे तर: लेखक Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक घातांकीय क्षय दर ठरवतात. स्रोताच्या शब्दांत, प्रोग्रामची अनंतस्पर्शी क्षमता अचूकपणे ठरवली आहे.
स्रोतातून थेट दोन परिणाम निघतात. पहिला म्हणजे उच्च मितींमध्ये सुधारलेली सामान्य पॅकिंग सीमा. दुसरा म्हणजे संबंधित Fourier चिन्ह-अनिश्चितता समस्या अनंतस्पर्शीरीत्या निकाली निघते. हे वेगवेगळ्या प्रकारचे परिणाम आहेत. एक भूमितीविषयी आहे आणि दुसरा विश्लेषणाविषयी, आणि एकच प्रमेय दोन्ही देते ही गोष्ट पहिला संकेत आहे की स्फीअर-पॅकिंग समस्या आणि अनिश्चितता समस्या एकाच रचनेचे दोन चेहरे आहेत.
स्रोत या कामगिरीला इतिहासाच्या पार्श्वभूमीवरही ठेवतो. तो या निकालाचे वर्णन सामान्य स्फीअर-पॅकिंग घातांकातील १९७८ नंतरची पहिली सुधारणा असे करतो. पारंपरिक Kabatianskii–Levenshtein घातांक ०.५९९०५५७६... होता, आणि तोच आकडा मानदंड होता. दस्तऐवज नोंदवतो की नंतरच्या गोलीय-कोड सुधारणांनी केवळ खालच्या क्रमाचे गुणक सुधारले होते. दुसऱ्या शब्दांत, घातांकासाठी, जी प्रमुख क्रमाची राशी आहे, काहीही हलले नव्हते.
माझ्या मते निकालाचे मूल्यमापन करण्यासाठी हीच योग्य मांडणी आहे. खालच्या क्रमाची सुधारणा स्थिरांक आणि बहुपदी गुणकांत बदल करते, पण घातांकीय दर जिथे होता तिथेच ठेवते. घातांकाची सुधारणा दरच बदलते. दावे नेमक्या याच भेदाला आधार देतात, आणि याही विधानाला की आधीच्या सुधारणा या भेदाच्या खालच्या क्रमाच्या बाजूला पडत होत्या.
| मिती / चौकट | पारंपरिक आधाररेखा (१९७८) | Cohn-Elkies लिनियर प्रोग्राम | नव्या मॉडेलचा पुरावा |
|---|---|---|---|
| स्फीअर-पॅकिंग घातांक | Kabatianskii–Levenshtein सीमा: ०.५९९०५५७६... | किमान गोलीय-कोड सीमांइतका मजबूत (Cohn–Zhao) | Afkhami-Jeddi et al. (२०२०) यांनी अनुमानित केलेला अचूक अनंतस्पर्शी दर सिद्ध |
| सीमेची अंतिमता | केवळ खालच्या क्रमाच्या गुणकांच्या सुधारणा | अनंतस्पर्शी उच्च-मितीय तफावतीवर खुला प्रश्न | अचूक जुळणारी खालची सीमा: कोणतेही सहायक फलन हा दर मागे टाकू शकत नाही |
| Fourier चिन्ह-अनिश्चितता | स्वतंत्र चिन्ह सीमा ($A^+(d) < A^-(d)$) | anti-self-Fourier चाचणी फलनांशी जोडलेली | अनंतस्पर्शीरीत्या निकाली; चिन्ह-अनिश्चितता Mellin परावर्तनाने नियंत्रित |
| त्रुटी-सुधारक कोड | पारंपरिक गोलीय आणि बायनरी कोड सीमा | पॅकिंग सीमांशी अनंतस्पर्शीरीत्या जोडलेल्या | सर्व ठरावीक-अंतर प्राचलांसाठी घातांकीय गुणकांची सुधारणा |
| पद्धतीची मर्यादा | बहुपदी गुणकांचे संख्यात्मक इष्टतमीकरण | सहायक चाचणी फलनांचे $f \in \mathcal{A}_d$ खुले इष्टतमीकरण | गणितीय मर्यादा सिद्ध: पुढील लाभासाठी Cohn-Elkies बाहेरच्या पद्धती लागतील |
जुळणारी खालची सीमा प्रश्नच का बदलते #
केवळ वरच्या सीमेतील सुधारणाही चांगली बातमी ठरली असती. या निकालाला असामान्यपणे अंतिम बनवणारी गोष्ट म्हणजे त्याचा दुसरा अर्धा भाग. जुळणारी खालची सीमा दाखवते की कोणतेही Cohn-Elkies सहायक फलन हा घातांक सुधारू शकत नाही.
याचा संशोधन कार्यक्रमावर काय परिणाम होतो याचा विचार करा. निकालापूर्वी, सहायक फलन रचण्याची अधिक चांगली कल्पना असलेल्या संशोधकाकडे आणखी चांगल्या स्फीअर-पॅकिंग घातांकाकडे जाण्याचा एक संभाव्य मार्ग होता. त्यानंतर, घातांकांच्या पातळीवर तो मार्ग बंद झाला आहे. घातांकावरील कोणतीही पुढची प्रगती Cohn-Elkies चौकटीच्या बाहेरून यावी लागेल, कारण तिच्या आत दर आता अचूक आहे.
मला हे अतिशयोक्त करायचे नाही. दावे असे म्हणत नाहीत की नवा घातांक हाच खरा स्फीअर-पॅकिंग घातांक आहे, आणि असेही म्हणत नाहीत की स्फीअर पॅकिंग स्वतः यापेक्षा चांगले करू शकत नाही. विधान लिनियर प्रोग्रामविषयी आहे: त्याचा घातांक निश्चित झाला आहे, आणि सहायक फलन बदलून त्याला मागे टाकता येत नाही. एखादे वेगळे तंत्र त्याला मागे टाकू शकेल का, हा असा प्रश्न आहे ज्याला दावे स्पर्श करत नाहीत. ही एक स्वच्छ सीमारेषा आहे, आणि अशा प्रकारची सीमारेषा एखाद्या क्षेत्राला पुढे कुठे पाहायचे ते सांगते.
याचा एक व्यावसायिक दृष्टीचा अर्थही आहे, अशा वाचकांसाठी ज्यांना प्रयत्न कुठे खर्च होतात याची काळजी असते. एखाद्या पद्धतीची ज्ञात-अचूक मर्यादा ही उपयुक्त माहिती आहे. ती सांगते की त्या पद्धतीच्या आत इष्टतमीकरण थांबवा. संशोधनाचा वेळ वाटून देणाऱ्या कोणासाठीही "हे सुधारू शकते" पासून "हे सुधारू शकत नाही" पर्यंतचा बदल एखाद्या माफक सकारात्मक निकालाइतकाच मोलाचा आहे.
गोलीय कोड आणि बायनरी कोड #
संग्रह पॅकिंगवर थांबत नाही. ठरावीक अंतराच्या बायनरी आणि गोलीय कोडच्या पारंपरिक वरच्या सीमा सर्व प्राचलांसाठी घातांकीय गुणकांनी सुधारल्या आहेत. त्या वाक्यात एक मजबूत परिमाणक आहे. सुधारणा घातांकीय गुणकांनी आहे, आणि ती सर्व प्राचलांसाठी लागू होते, जे एखाद्या अनुकूल क्षेत्रातील सुधारणेपेक्षा व्यापक विधान आहे.
प्रकरण १ शी एक दुवाही आहे. गोलीय कोडची रचना प्रकरण १ मधील स्फीअर-पॅकिंग घातांकही पुन्हा मिळवते. अशा रीतीने दोन्ही धागे जुळतात: कोडच्या बाजूची रचना पॅकिंगच्या बाजूचा घातांक पुन्हा निर्माण करते. दावे त्या पुनर्प्राप्तीची कार्यपद्धती सांगत नाहीत, आणि मी ती रचणार नाही. ते जे सिद्ध करतात ते हे की संबंध याच दिशेने जातो, आणि गोलीय रचना पॅकिंगच्या प्रकरणाइतकाच घातांक देते.
वरील इतिहास लक्षात घेता हा दुवा का महत्त्वाचा आहे हे आठवणे योग्य ठरेल. Kabatianskii–Levenshtein गोलीय-कोड सीमा लिनियर प्रोग्रामसाठी तुलनेचा बिंदू होती, आणि Cohn आणि Zhao यांचे प्रमेय सांगत होते की प्रोग्राम नेहमी किमान तितका मजबूत असतो. नवे निकाल पॅकिंग सीमांसोबतच कोड सीमाही सुधारतात, आणि तेही अशा रचनेतून जी पुन्हा पॅकिंग घातांकाकडे येते. दोन्ही बाजू एकत्र पुढे सरकवल्या जात आहेत.
चिन्ह-अनिश्चिततेची समस्या #
मुख्य प्रमेयाचा दुसरा परिणाम Fourier चिन्ह-अनिश्चिततेशी संबंधित आहे, आणि दस्तऐवज तिची रूपरेषा रेखाटता येईल इतक्या व्याख्या देतो.
एखाद्या फलन g साठी, r(g) ची व्याख्या R ≥ 0 चे असे निम्नतम मूल्य अशी केली आहे की |x| ≥ R साठी g(x) ≥ 0. सोप्या शब्दांत, r(g) म्हणजे अशी त्रिज्या जिच्या पलीकडे g सर्वत्र अऋण असते. अशी कोणतीही त्रिज्या अस्तित्वात नसेल तर r(g) = ∞. अनिश्चितता समस्या अशी आहे की ज्या फलनांचा स्वतःच्या Fourier रूपांतराशी एक ठरलेला संबंध आहे, त्यांच्यासाठी ही त्रिज्या किती लहान करता येते.
तो संबंध म्हणजे एक चिन्ह. ĝ = ςg ही अट एखाद्या फलनाला चिन्हापर्यंत त्याच्या Fourier रूपांतराशी बांधते. +1 आणि −1 ही चिन्हे अनुक्रमे मूळ आणि पूरक अनिश्चितता समस्या देतात. Cohn आणि Gonçalves यांनी anti-self-Fourier समकक्ष, म्हणजे पूरक समस्या, मांडली आणि तिला स्फीअर पॅकिंगशी जोडले. तोच दुवा तो पूल आहे ज्याद्वारे स्फीअर-पॅकिंग निकाल अनिश्चितता समस्या अनंतस्पर्शीरीत्या निकाली काढतो.
पूरक समस्या ही शुद्ध विश्लेषणातील कुतूहलाची बाब नाही. spinless modular bootstrap मध्ये, modular S-प्रतिसममिती अशी anti-self-Fourier चाचणी फलने निर्माण करते ज्यांचे अखेरचे चिन्ह spectral gap नियंत्रित करते. स्रोत यासाठी Hartman, Mazáč आणि Rastelli तसेच Afkhami-Jeddi et al. यांच्या शोधनिबंधाचा संदर्भ देतो. अशा रीतीने फलने आणि त्यांच्या रूपांतरांविषयीचे विधान म्हणून सुरू झालेला प्रश्न भौतिकशास्त्रासारखे नाव असलेल्या संदर्भातही, spectral gap मध्ये, दिसतो. दावे त्या एका ओळीच्या कार्यपद्धतीपलीकडे जात नाहीत, आणि मीही जाणार नाही, पण यावरून आठवण होते की अनिश्चितता समस्येचे सोबती स्फीअर पॅकिंगच्या बाहेरही आहेत.
परिशिष्ट A दोन्ही समस्यांमधील तुलना जोडते. ते नोंदवते की सर्व d साठी A+(d) < A−(d). हे असे विधान आहे की दोन्ही समस्या प्रत्येक मितीत भिन्न आहेत, आणि पहिली राशी दुसरीपेक्षा काटेकोरपणे लहान आहे. दावे याचा आणखी अर्थ लावत नाहीत, आणि ही असमता केवळ यासाठी लक्षात घेण्याजोगी आहे की ती कोणत्याही अपवादाशिवाय सर्व d साठी लागू होते.
युक्तिवादाच्या आत: सरासरी, शून्य होणे आणि एक वस्तुमान अंदाज #
दस्तऐवजात अनेक तांत्रिक विधाने आहेत जी अनिश्चिततेचे विश्लेषण कसे बांधले आहे याची कल्पना देतात. ते तुकडे आहेत, आणि मी ते तुकडे म्हणूनच मांडेन, पण एकत्रितपणे ते एका पद्धतीची रूपरेषा रेखाटतात.
सममितीपासून सुरुवात करा. परिभ्रमण सरासरीची व्याख्या O(d) वरील सामान्यीकृत Haar माप वापरून केली आहे. एखाद्या फलनाची परिभ्रमणांवर सरासरी घेतल्याने त्रिज्यीय फलन मिळते, आणि तसे करण्याचा हेतू असा की त्यामुळे समस्या सोपी होते आणि अटी मोडत नाहीत. स्रोत म्हणतो की परिभ्रमण सरासरी समस्येच्या अटींच्या यादीतील, जिला (2) असे नाव दिले आहे, प्रत्येक चिन्ह अट जपते. तो पुढे जोडतो की जर ĝ = ςg, तर r(Rg) ≤ r(g), जिथे Rg म्हणजे g ची परिभ्रमण सरासरी. त्यामुळे सरासरी घेतल्याने चिन्ह त्रिज्या कधीच वाईट होत नाही. शिवाय, स्रोताच्या शब्दांत, g ≠ 0 अखेरीस अऋण असेल तेव्हा Rg ≠ 0, त्यामुळे मोठ्या अंतरावर योग्य चिन्ह-वर्तन असलेल्या फलनाला सरासरी नष्ट करत नाही.
ही तीन तथ्ये मिळून त्रिज्यीय फलनांपर्यंत मर्यादित होण्याचे समर्थन करतात. या मर्यादित होण्यात त्रिज्येवर कोणतीही किंमत मोजावी लागत नाही, ते चिन्ह अटी जपते, आणि फलनाला शून्यात कोसळू देत नाही. हे एका प्रमाणित सममिती युक्तिवादाचे स्वरूप आहे, आणि दावे त्याच्या प्रत्येक घटकाची पुष्टी करतात.
पुढे, मूळबिंदू. g = h − ĥ हे फलन मूळबिंदूवर शून्य होते. ही अशा प्रकारची लहान वस्तुस्थिती आहे जी पुराव्यात मोठे काम करते, कारण Cohn-Elkies सीमेत मूळबिंदूवरील मूल्ये थेट येतात, आणि तिथे शून्य होणारे फलन न होणाऱ्या फलनापेक्षा वेगळे वागते. याच्याशी संबंधित एक दुरुस्तीची पायरीही नोंदवली आहे: दुरुस्त केलेले फलन gn हे gn(0) = 0 पूर्ण करते आणि L1 मध्ये gn → g. म्हणजे दुरुस्त केलेल्या फलनांचा एक क्रम, ज्यातील प्रत्येक मूळबिंदूवर शून्य आहे, L1 अर्थाने g कडे अभिसरित होतो. त्यामुळे युक्तिवादाला अशा फलनांसह काम करता येते जी मूळबिंदूची अट अचूक पूर्ण करतात आणि तरीही लक्ष्याचे अंदाजन करतात.
मग एक संख्यात्मक अट आहे. वस्तुमान अंदाज 1/a ≥ (1/π − o(1))√d भाग पाडतो. दावे a ची व्याख्या करत नाहीत, त्यामुळे ते काय मोजते हे मी सांगू शकत नाही, आणि मी अंदाज लावणार नाही. जे सांगता येते ते निष्कर्षाचे स्वरूप: 1/a वर एक खालची सीमा जी मितीच्या वर्गमुळाप्रमाणे वाढते, स्थिरांक 1/π आणि नाहीशी होणाऱ्या दुरुस्तीसह. मितीच्या वर्गमुळाचे प्रमाण उच्च-मितीय भूमितीसाठी नैसर्गिक वाटणारा आकार आहे, पण ते राशीच्या स्वरूपाविषयीचे माझे निरीक्षण आहे, आणि दावे ते कार्यपद्धती म्हणून मांडत नाहीत.
Mellin चित्र #
दस्तऐवजात साधनसंचाचा आणखी एक तुकडा दिसतो, आणि तोच सर्वात स्पष्टपणे समजावतो की इथे त्रिज्यीय Fourier विश्लेषण का हाताळण्याजोगे आहे. Mellin रूपांतरानंतर, त्रिज्यीय Fourier रूपांतर Mellin चलाचे परावर्तन करते. एखादे रूपांतर कसे कार्य करते याविषयीचे हे संक्षिप्त विधान आहे. त्रिज्यीय फलनाचे Fourier रूपांतर, जे सामान्यतः एक संकलन संकारक असते आणि ज्याविषयी थेट तर्क करणे अवघड असते, Mellin चलातील एक परावर्तन बनते. परावर्तने ही संकारक जितके सोपे असू शकतात तितकी सोपी असतात.
तोच उतारा दुसऱ्या बाजूची एक विश्लेषणात्मक अटही नोंदवतो. g चा Schwartz क्षय v → +∞ होताना Φg चा जलद क्षय देतो. इथे Φg म्हणजे Mellin विश्लेषणात मिळणारी वस्तू, आणि v तिचे चल. ही जोडी उद्बोधक आहे: परावर्तनाचा गुणधर्म रचना हाताळतो, आणि Schwartz क्षय अनंतावरील नियंत्रण हाताळतो. या शैलीच्या पुराव्याला दोन्हींची गरज असते, कारण क्षयाशिवायची रचना अशी संकलने सोडते जी कदाचित अभिसरित होणार नाहीत, आणि रचनेशिवायचा क्षय गणना करण्यासाठी काहीच सोडत नाही.
दस्तऐवज हेही नोंदवतो की Sd म्हणजे एकक गोलाचे क्षेत्रफळ, जे त्रिज्यीय संकलने गोल आणि रेषा यांच्यात बदलताना सामान्यीकरण गुणक म्हणून येते. हा व्याख्येचा मुद्दा आहे, आणि अंतिम सीमेतील स्थिरांक बरोबर येतात की नाही हे ठरवणारा हा हिशेबाचा प्रकार आहे.
हे तुकडे काय आहेत हे मला स्पष्ट करायचे आहे. ते पुरावा नाहीत. दावे विधाने देतात, व्युत्पत्ती नव्हे, आणि कोणत्याही वाचकाने त्यांच्यावरून संपूर्ण युक्तिवाद पुन्हा उभा करू नये. ते जे दाखवतात ते हे की विश्लेषण सममितीद्वारे सुलभीकरण, मूळबिंदूवरील एक अट, एक संख्यात्मक वस्तुमान अंदाज, आणि चल बदलल्यानंतर ज्याची क्रिया सोपी होते असे एक रूपांतर यांना एकत्र आणते. Fourier-विश्लेषणात्मक चरम समस्यांसाठी हा संयोग पारंपरिक आहे, ज्यामुळे अंतिम निकालाची अचूकता कमी नव्हे तर अधिक उल्लेखनीय ठरते. प्रमाणित दिसणारी साधने धारदार उत्तरापर्यंत पोहोचण्यास पुरेशी होती.
संग्रहाचा उर्वरित भाग #
स्फीअर-पॅकिंग प्रकरण हा दस्तऐवजाचा केवळ एक भाग आहे, आणि उर्वरित निकालांचा न्याय्य हिशेब व्हायला हवा. प्रत्येक निकाल इथे दावे देतात तसाच सांगितला आहे.
समूह सिद्धांतात, एक स्पष्ट nonsofic समूह रचला आहे, जो प्रत्येक गणनीय समूह sofic असतो का या जुन्या प्रश्नाचे उत्तर देतो. पुरावा Kun आणि Kun–Thom यांच्या कामाला एका संयोजनात्मक expander-matching युक्तिवादाशी जोडतो, जो बायनरी Leavitt बीजगणित आणि Thompson यांचा समूह V वापरून साकारला आहे. इथे "स्पष्ट" या शब्दाला वजन आहे: निकाल ही एक रचना आहे, अस्तित्वाचा युक्तिवाद नव्हे.
ऑपरेटर बीजगणितात, property (T) असलेले अनंत अनेक, जोडीने असमरूप समूह रचले आहेत ज्यांचे समूह von Neumann बीजगणित एकच आहे. हे Connes यांच्या अनुमानाचे खंडन करते आणि Popa यांच्या संबंधित finite-to-one प्रश्नाचे उत्तर देते. एकाच रचनेतून दोन नामांकित प्रश्न निकाली निघतात.
अंकगणितीय जटिलतेत, दस्तऐवज permanent साठी खालच्या सीमा देतो. division-free परिपथांना Ω(n² log log n) गेट लागतात, तर सूत्रांना Ω(n⁴ / log n) पाने. संगणनाच्या दोन मॉडेलसाठी या दोन सीमा आहेत, आणि दस्तऐवज त्या शेजारी शेजारी मांडतो.
क्वांटम माहितीत, प्रत्येक परिमित दोन-खेळाडू entangled खेळासाठी घातांकीय समांतर पुनरावृत्ती सिद्ध केली आहे. स्रोत म्हणतो की हे पारंपरिक पुनरावृत्ती तत्त्वाला क्वांटम खेळांच्या आधी हाताळलेल्या विशेष वर्गांपलीकडे नेते. परिमाणक पुन्हा लक्ष वेधतो: प्रत्येक परिमित दोन-खेळाडू entangled खेळ, कोणत्याही विशेष वर्गाच्या बंधनाशिवाय.
अंदाजनाच्या कठीणतेत, 3SAT पासूनचे थेट अपचयन Euclidean closest vector problem साठी n^(1/400)-गुणक कठीणता देते, बायनरी डिकोडिंग आणि इतर लॅटिस मानकांसाठी संबंधित परिणामांसह. घातांक 1/400 लहान आहे, आणि तो सजवण्याऐवजी जसा लिहिला आहे तसाच सांगणे मला अधिक आवडेल. दावे या अपचयनाला थेट म्हणतात आणि बायनरी डिकोडिंग व इतर मानकांसाठी परिणाम जोडतात.
बहिर्वक्र भूमितीत, ज्या बहिर्वक्र घनांचे गुरुत्वमध्य हाच त्यांचा एकमेव अंतर्गत लॅटिस बिंदू आहे, त्यांच्यासाठी धारदार घनफळ वरची सीमा (n + 1)^n / n! प्रत्येक मितीत सिद्ध केली आहे. धारदारपणा आणि सर्व मितींतील सर्वसाधारणता हे दोन्ही दाव्याचा भाग आहेत.
Ramsey सिद्धांतात, एक नवी superexponential खालची सीमा दाखवते की Rk(3) हे k^Θ(k) प्रमाणे वाढते. आणि चरम आलेख सिद्धांतात, स्वतंत्र द्विविभाजित आलेख रचना दोन अनुमानांचे खंडन करतात: Erdős आणि Simonovits यांचे compactness अनुमान आणि Erdős यांचे एक degeneracy अनुमान.
संग्रह एकत्रितपणे वाचणे #
ही यादी चषकांच्या कपाटासारखी पाहणे सोपे ठरेल, म्हणून त्यातून काय निष्कर्ष काढता येतो आणि काय नाही हे सांगणे योग्य आहे.
जे सांगता येते ते हे की दस्तऐवज किमान आठ क्षेत्रांतील निकाल नोंदवतो, त्यातील अनेकांचे वर्णन नामांकित अनुमानांचे उत्तर देणारे किंवा खंडन करणारे असे केले आहे, आणि स्फीअर-पॅकिंग प्रकरणासोबत एक जुळणारी खालची सीमा येते जी त्याचा निकाल त्याच्या चौकटीत अंतिम बनवते. संबंधित अनुमानांवर Connes, Popa, Erdős आणि Simonovits यांची नावे आहेत, आणि स्फीअर-पॅकिंग दराचे अनुमान Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat आणि Tajdini यांनी मांडले होते. नामांकित प्रश्न निकाली काढणाऱ्या निकालांचे मूल्यमापन सोपे असते, कारण प्रश्न उत्तर अस्तित्वात येण्यापूर्वी विचारला गेला होता.
केवळ या दाव्यांच्या आधारे जे सांगता येत नाही ते म्हणजे मॉडेल कसे काम करते, त्याला किती प्रयत्न लागले, त्याचे आउटपुट कसे पडताळले गेले, किंवा मानवी प्रयत्नांशी त्याची तुलना कशी होते. स्रोत म्हणतो की निकाल OpenAI च्या एका अंतर्गत मॉडेलकडून मिळाले, आणि दावे तिथेच थांबतात. यंत्र-गणिताविषयीचा पुरावा म्हणून या संग्रहाचे महत्त्व तोलू इच्छिणाऱ्या वाचकाला अशी माहिती हवी जी दाव्यांमध्ये नाही. ती पोकळी विश्वासार्ह वाटणाऱ्या कथनाने भरण्याचा मोह मी टाळेन.
तरीही एक भूमिका घेण्याजोगी आहे. निकाल तंत्रात विषम आहेत: nonsofic समूह बायनरी Leavitt बीजगणित आणि Thompson यांचा समूह V वापरतो, स्फीअर-पॅकिंग निकाल Fourier विश्लेषण आणि Mellin रूपांतरे वापरतो, आणि closest vector कठीणता 3SAT पासूनचे अपचयन वापरते. इतकी तांत्रिक जमीन व्यापणारा संग्रह वारंवार वापरलेल्या एकाच युक्तीचे फलित नाही. हे निकाल ज्याने निर्माण केले ते अनेक गणितीय बोलींमध्ये काम करत होते, आणि दावे किमान इतक्याला आधार देतात.
क्षेत्रनिहाय याचा अर्थ #
उच्च-मितीय Cohn-Elkies क्षय दराचे अचूक निर्धारण आणि सोबतचे गणितीय निकाल अनेक सैद्धांतिक आणि उपयोजित संगणकीय क्षेत्रांवर परिणाम करतात.
शुद्ध गणित आणि विविक्त भूमिती #
उच्च-मितीय भूमिती आणि हार्मोनिक विश्लेषणात काम करणाऱ्या गणितज्ञांसाठी, अचूक Cohn-Elkies क्षय दराचे निर्धारण संशोधनाचे चित्र बदलते. जुळणारी खालची सीमा सिद्ध करते की $\mathcal{A}_d$ मधील कोणतेही सहायक फलन नव्या घातांकाला मागे टाकू शकत नाही, त्यामुळे संशोधक पारंपरिक लिनियर प्रोग्रामिंग चौकटीत अधिक चांगल्या त्रिज्यीय चाचणी फलनांचा शोध थांबवू शकतात. अधिक दाट स्फीअर पॅकिंग किंवा अधिक घट्ट सार्वत्रिक सीमांकडील प्रगतीला आता अरेषीय प्रोग्रामिंग तंत्रे, उच्च-क्रमाच्या semidefinite श्रेणी, किंवा पूर्णपणे वेगळ्या भौमितिक रचना शोधाव्या लागतील.
क्रिप्टोग्राफी आणि लॅटिस-आधारित सुरक्षा #
लॅटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी, जी ML-KEM आणि ML-DSA यांसारख्या पोस्ट-क्वांटम मानकांचा गाभा आहे, उच्च-मितीय Euclidean लॅटिसमधील सर्वात लहान किंवा सर्वात जवळचे सदिश शोधण्याच्या अनुमानित कठीणतेवर मोठ्या प्रमाणावर अवलंबून असते. Euclidean Closest Vector Problem (CVP) साठी $n^{1/400}$-गुणक कठीणता सिद्ध करणारे 3SAT पासूनचे थेट अपचयन, स्फीअर पॅकिंग आणि गोलीय कोडवरील अधिक घट्ट घातांकीय मर्यादांसोबत, worst-case-to-average-case लॅटिस अपचयनांचा सैद्धांतिक पाया मजबूत करते, ठोस सुरक्षा प्राचल कमकुवत न करता.
स्वयंचलित प्रमेय-सिद्धी आणि फाउंडेशन मॉडेल #
तर्क प्रणाली आणि स्वयंचलित प्रमेय-सिद्धक विकसित करणाऱ्या संशोधन संघांसाठी, संग्रहाची व्याप्ती आणि तांत्रिक खोली एक लक्षवेधी मानदंड पुरवतात. ज्ञात पुराव्यांची कृत्रिम रूपांतरे निर्माण करण्याऐवजी, अंतर्गत मॉडेलने समूह सिद्धांत (Thompson यांच्या समूह V द्वारे स्पष्ट nonsofic समूहाची रचना), ऑपरेटर बीजगणित (Connes यांच्या अनुमानाचे खंडन) आणि अंकगणितीय जटिलता (permanent च्या खालच्या सीमा) यांपर्यंत पसरलेल्या खुल्या समस्या हाताळल्या. यावरून दिसते की न्यूरल रचना खोल Fourier विश्लेषण आणि संयोजनात्मक matching हाताळू शकतात, पडताळणी आणि पुरावा-तपासणी काटेकोर राहिली तर.
निष्कर्ष #
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामच्या अचूक क्षय दराचे निर्धारण भौमितिक विश्लेषणातील एक मोठे प्रकरण बंद करते. Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat आणि Tajdini यांचे २०२० चे अनुमान सिद्ध करून आणि १९७८ नंतर सामान्य स्फीअर-पॅकिंग घातांकात पहिली सुधारणा प्रस्थापित करून, हे काम एक अढळ गणितीय आधाररेखा प्रस्थापित करते. एक जुळणारी खालची सीमा पुष्टी करते की कोणतेही Cohn-Elkies सहायक फलन पुढील घातांकीय लाभ देऊ शकत नाही, त्यामुळे हे प्रमेय लिनियर प्रोग्रामची अनंतस्पर्शी क्षमता निकाली काढते आणि उच्च-मितीय भूमितीचे भविष्य मूलतः नव्या विश्लेषणात्मक क्षितिजांकडे वळवते.
वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न #
Kabatianskii–Levenshtein सीमेचे महत्त्व काय होते?
१९७८ मध्ये प्रस्थापित झालेल्या Kabatianskii–Levenshtein सीमेने उच्च मितींमधील स्फीअर-पॅकिंग घनतेवर ०.५९९०५५७६... चा अनंतस्पर्शी वरच्या सीमेचा घातांक दिला. चार दशकांहून अधिक काळ, नंतरच्या सुधारणांनी केवळ खालच्या क्रमाचे बैजिक गुणक सुधारले, आणि प्रमुख घातांकीय दर या निकालापर्यंत अस्पर्शित राहिला.
जुळणारी खालची सीमा इतकी निर्णायक का आहे?
केवळ वरची सीमा दाखवते की लिनियर प्रोग्राम काय साध्य करतो, पण जुळणारी खालची सीमा सिद्ध करते की Cohn-Elkies च्या स्वीकार्य वर्ग A(d) मधील सहायक फलन f ची कोणतीही निवड यापेक्षा लहान घातांक देऊ शकत नाही. यामुळे लिनियर प्रोग्रामिंग चौकटीवरच एक निरपेक्ष मर्यादा प्रस्थापित होते.
Fourier चिन्ह-अनिश्चितता समस्या स्फीअर पॅकिंगशी कशी जोडलेली आहे?
Cohn आणि Gonçalves यांनी प्रस्थापित केले की पूरक Fourier चिन्ह-अनिश्चितता समस्या (जिथे g_hat = -g) स्फीअर-पॅकिंग सीमांशी घनिष्ठपणे जोडलेली आहे. परिभ्रमण सरासरी आणि Mellin-रूपांतर परावर्तनांद्वारे, Cohn-Elkies प्रोग्रामची अनंतस्पर्शी उकल थेट Fourier चिन्ह-अनिश्चितता समस्या निकाली काढते.
हा निकाल लॅटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफीला धोका निर्माण करतो का?
नाही. हे प्रमेय उच्च मितींमध्ये गोल किती दाटपणे पॅक होऊ शकतात यावरील वरच्या सीमा अधिक धारदार करते आणि Closest Vector Problem साठी $n^{1/400}$-गुणक कठीणता सिद्ध करते, पण ते बहुपदी-वेळेचे लॅटिस अपचयन अल्गोरिदम देत नाही. व्यावहारिक लॅटिस क्रिप्टोसिस्टम ज्ञात क्वांटम आणि पारंपरिक हल्ल्यांविरुद्ध सुरक्षित राहतात.
संदर्भ #
- Nima Afkhami-Jeddi et al., (2020). उच्च-मितीय स्फीअर पॅकिंग आणि modular bootstrap ⧉. Journal of High Energy Physics.
- Henry Cohn and Noam Elkies, (2003). स्फीअर पॅकिंगवरील नव्या वरच्या सीमा I ⧉. Annals of Mathematics.
- Henry Cohn and Felipe Gonçalves, (2019). Fourier विश्लेषणातील एक इष्टतम अनिश्चितता तत्त्व ⧉. PNAS.
- Henry Cohn and Yufei Zhao, (2014). गोलीय कोडद्वारे स्फीअर-पॅकिंग सीमा ⧉. Duke Mathematical Journal.
- G. A. Kabatianskii and V. I. Levenshtein, (1978). गोलावर आणि अवकाशातील पॅकिंगच्या सीमा ⧉. Problems of Information Transmission.
- Maryna S. Viazovska, (2017). मिती 8 मधील स्फीअर पॅकिंगची समस्या ⧉. Annals of Mathematics.
शेवटचे पुनरावलोकन .
शेवटचे पुनरावलोकन .
हा लेख क्रॉस-पोस्ट करा
Medium साठी स्वरूपित कॉपी करा
# Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau > Originally published at [https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/](https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/) OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह. Read the full article on sebastienrousseau.com: https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/
Mastodon साठी स्वरूपित कॉपी करा
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह. https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/
LinkedIn साठी स्वरूपित कॉपी करा
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह. येथे मुख्य धोरणात्मक मुद्दे आहेत: - संग्रह काय आहे, आणि एक निकाल वेगळा का दिसतो. दस्तऐवजाची सुरुवात नम्रपणे होते. - Cohn-Elkies प्रोग्राम आणि तो कशाला सीमा घालतो. स्फीअर पॅकिंग विचारते की एकमेकांवर न येणारे गोळे अवकाश किती दाटपणे भरू शकतात. - चौकटीने आधीच काय साध्य केले होते. नव्या प्रमेयाकडे वळण्यापूर्वी, Fourier-विश्लेषणात्मक लिनियर-प्रोग्रामिंग चौकटीने आधीच काय दिले होते हे नेमकेपणाने सांगणे योग्य ठरेल, कारण नवा निकाल अंशतः ती आणखी किती पुढे जाऊ शकते याविषयीचे विधान आहे. - मुख्य प्रमेय. दस्तऐवजाचे मुख्य प्रमेय त्या २०२० च्या शोधनिबंधातील अनुमान ३.१ आणि ३.२ मध्ये अनुमानित केलेला घातांकीय दर सिद्ध करते. या लेखात मांडलेल्या आव्हानांसाठी तुमच्या संस्थेचा दृष्टिकोन काय आहे? → https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/ #Openaiअंतर्गतमॉडेल #CohnElkies #स्फीअरपॅकिंग #लिनियरप्रोग्राम #क्षयदर Sebastien Rousseau | CC-BY-4.0
हा लेख उद्धृत करा
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau
OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह.
BibTeX
@online{rousseau2026cohn,
author = {Rousseau, Sebastien},
title = {{Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau}},
year = {2026},
url = {https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/},
urldate = {2026}
}RIS
TY - GEN AU - Rousseau, Sebastien TI - Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau PY - 2026 UR - https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/ ER -
Vancouver
Rousseau S. Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. 2026 Oct 5. Available from: https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/
Chicago
Rousseau, Sebastien. "Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau." sebastienrousseau.com. October 5, 2026. https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/.
APA
Rousseau, S. (2026, October 5). Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/
हा लेख पुनःप्रकाशित करा
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau
OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह.
हा लेख यानुसार परवानाकृत आहे Creative Commons Attribution 4.0 International. पुनःप्रकाशनासाठी कॅनॉनिकल URL ला श्रेय देणे आवश्यक आहे.
Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंगचा अचूक क्षय दर: OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल — Sebastien Rousseau OpenAI च्या अंतर्गत मॉडेलने Cohn-Elkies स्फीअर-पॅकिंग लिनियर प्रोग्रामचा अचूक क्षय दर ठरवला: १९७८ नंतर सामान्य घातांकात पहिली सुधारणा, जुळणाऱ्या खालच्या सीमेसह. Originally published at https://sebastienrousseau.com/mr/2026-10-05-cohn-elkies-sphiar-pekingacha-achuk-kshay/ by Sebastien Rousseau. Licensed under CC-BY-4.0.