OpenAI అంతర్గత మోడల్ ఒకటి సాధించిన గణిత ఫలితాల సంకలనం Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ అనంతస్పర్శి బలాన్ని తేల్చుతుంది. ఇది 1978 తర్వాత సాధారణ గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదలను అందిస్తుంది, దానితో పాటు సరిగ్గా సరిపోయే దిగువ హద్దును కూడా ఇస్తుంది.
సంకలనం అంటే ఏమిటి, ఒక ఫలితం ఎందుకు ప్రత్యేకంగా కనిపిస్తుంది #
పత్రం నిరాడంబరంగా మొదలవుతుంది. అది OpenAI అంతర్గత మోడల్ ఒకటి సాధించిన ఫలితాల సంకలనాన్ని అందిస్తుంది, అవి గణితం, సైద్ధాంతిక కంప్యూటర్ శాస్త్రం అంతటా విస్తరించాయని చెబుతుంది. ఇది మూలం, పరిధి గురించిన వర్ణన, మోడల్‌ను ఎలా ఉపయోగించారో లేదా దాని అవుట్‌పుట్‌ను ఎలా తనిఖీ చేశారో అది చెప్పదు. ఆ ప్రశ్నలు ముఖ్యమైనవి, ఇక్కడ సంగ్రహించిన మూలం వాటికి జవాబు ఇవ్వదు, కాబట్టి ఈ వ్యాసం వేరేలా నటించదు. దావాలు బలపరిచేది ప్రకటించిన ఫలితాల జాబితాను, ఆ జాబితా ఎంత పొడవైనదంటే ఏదో ఒక అంశం ఆకట్టుకునేదా అన్నది ఆసక్తికరమైన ప్రశ్న కాదు. వాటిలో ఒకదానికి ఎక్కువ శ్రద్ధ ఎందుకు దక్కాలి అన్నదే ప్రశ్న.
కారణం ఏమిటంటే, సుదీర్ఘమైన, పేరున్న చరిత్ర గల కార్యక్రమంలోని పరిమాణాత్మక అంతరాన్ని మూసే ఏకైక ఫలితం సంకలనంలో గోళ ప్యాకింగ్ ఫలితమే. మిగతావి కూడా తమంతట తాము చెప్పుకోదగినవే. స్పష్టమైన ఒక nonsofic సమూహం దీర్ఘకాలిక ప్రశ్నకు జవాబు ఇస్తుంది. Connes ఊహను ఖండించడం పేరున్న ఒక గణితవేత్త ప్రతిపాదించిన విషయాన్ని తేల్చుతుంది. కానీ గోళ ప్యాకింగ్ ఫలితం ఒక గొలుసు చివర కూర్చుంటుంది: అది ఒక Fourier-విశ్లేషణ చట్రం నుంచి మొదలై, వేర్వేరు పరిమాణాల్లో రెండు ప్రసిద్ధ కచ్చితమైన పరిష్కారాల గుండా సాగి, ఏళ్ల తరబడి తెరిచి ఉన్న ఉన్నత పరిమాణాల గురించిన ప్రశ్నకు చేరుతుంది. దాన్ని అర్థం చేసుకోవడమంటే ఆ గొలుసును అర్థం చేసుకోవడమే.
అందుకే తర్వాత వచ్చేదానిలో ఎక్కువ భాగం Cohn-Elkies రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ గురించే: అది ఏమిటి, దాని గురించి ఏమి తెలుసు, కొత్త సిద్ధాంతం ఏమి చెబుతుంది, వాదనలోని గుర్తు-అనిశ్చితి వైపు ఎలా నిర్మించబడింది. ఆ తర్వాత ఒక చిన్న విభాగం సంకలనంలోని మిగిలిన ఫలితాలను సమీక్షిస్తుంది, ప్రతిదాన్నీ చెప్పినట్లుగానే, అంతకు మించి కాదు.
Cohn-Elkies ప్రోగ్రామ్, అది దేనికి హద్దు విధిస్తుంది #
ఒకదానిపై ఒకటి రాని బంతులు అంతరాళాన్ని ఎంత దట్టంగా నింపగలవో గోళ ప్యాకింగ్ అడుగుతుంది. పత్రం దీనికి సంకేతాలను నిర్ణయిస్తుంది. కనీసం 1 దూరంలో ఉన్న కేంద్రాల కోసం, ∆d అంటే Rd లో వ్యాసార్ధం-1/2 బంతుల ఎగువ సాంద్రతల సుప్రీమమ్. మరోలా చెప్పాలంటే, ∆d అంటే Rd లో గరిష్ఠ గోళ ప్యాకింగ్ సాంద్రత. సంకలనంలోని మొదటి అధ్యాయంలో ప్రతిదీ ఈ రాశితో పోల్చే కొలవబడుతుంది.
Cohn-Elkies ప్రోగ్రామ్ ∆d పై ఒక ఎగువ హద్దును ఇస్తుంది. దాని అనుకూలతమ అవుట్‌పుట్‌ను LPd అని రాస్తారు, ప్రోగ్రామ్ అందించే అనుకూలతమ సాంద్రత హద్దుగా నిర్వచిస్తారు. దాని యంత్రాంగం Gorbachev–Cohn-Elkies హద్దు, ఇది Ad అనే తరగతిలోని ప్రతి f కి vd f(0)/(2d f̂(0)) అనే సాంద్రత ఎగువ హద్దును కేటాయిస్తుంది. మాటల్లో చెప్పాలంటే, మీరు అనుమతించదగిన తరగతి నుంచి ఒక సహాయక ప్రమేయం f ని ఎంచుకుంటారు, మూలబిందువు వద్ద దాని విలువను, మూలబిందువు వద్ద దాని Fourier పరివర్తన విలువను లెక్కిస్తారు, ఘనపరిమాణం, స్కేలింగ్ కారకాలతో ఆ నిష్పత్తిని ఏర్పరుస్తారు, ఫలితం ప్యాకింగ్ సాంద్రతకు పై నుంచి హద్దు విధిస్తుంది. ఈ హద్దును సాధ్యమైనంత చిన్నదిగా చేసే f కోసం రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ వెతుకుతుంది.
ఇది మొత్తం కష్టం f ని బాగా ఎంచుకోవడంలోనే ఉండే చట్రం. తెలివిగా ఎంచుకున్న ప్రమేయం బిగువైన హద్దును ఇస్తుంది, సరిగా ఎంచుకోని ప్రమేయం బలహీనమైన కానీ ఇప్పటికీ చెల్లుబాటయ్యే హద్దును ఇస్తుంది. అందుకే కొత్త ఫలితంలోని సరిపోయే దిగువ హద్దు అంత ముఖ్యం. అది ఒకేసారి అనుమతించదగిన ప్రతి ప్రమేయం గురించీ మాట్లాడుతుంది, మెరుగైన ప్రమేయాల అన్వేషణను మూసిన ప్రశ్నగా మారుస్తుంది.
చట్రం ఇప్పటికే ఏమి సాధించింది #
కొత్త సిద్ధాంతానికి వెళ్లే ముందు, Fourier-విశ్లేషణ రేఖీయ-ప్రోగ్రామింగ్ చట్రం ఇప్పటికే ఏమి అందించిందో నిర్దిష్టంగా చెప్పడం సముచితం, ఎందుకంటే కొత్త ఫలితం పాక్షికంగా అది ఇంకా ఎంత దూరం వెళ్లగలదో అనే దాని గురించిన ప్రకటన.
ఎనిమిది పరిమాణాల్లో E8 లాటిస్ అనుకూలతమ ప్యాకింగ్‌ను ఇస్తుందని Viazovska ఈ చట్రాన్ని ఉపయోగించి నిరూపించారు. తర్వాత Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, Viazovska ఇరవై నాలుగు పరిమాణాల్లో Leech లాటిస్ అనుకూలతమత్వాన్ని స్థాపించారు. ఇవి ఒక్కొక్క పరిమాణంలో కచ్చితమైన ఫలితాలు, హద్దులు విధించే సాధనంగా దాని పాత్రకు మించి ఈ చట్రానికి పేరు రావడానికి కారణం ఇవే. రెండు నిర్దిష్ట పరిమాణాల్లో అది నిజమైన సమాధానాన్ని తాకుతుంది.
ఉన్నత-పరిమాణ చిత్రం మసకగా ఉండేది. రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ ఎల్లప్పుడూ కనీసం Kabatianskii–Levenshtein గోళాకార-కోడ్ హద్దు అంత బలమైనదని Cohn, Zhao నిరూపించారు. ఇది ఉపయోగకరమైన హామీ, ఎందుకంటే Kabatianskii–Levenshtein హద్దే తెలిసిన అత్యుత్తమ సాధారణ ఘాతాంకం. కానీ "కనీసం అంత బలమైనది" అనేది రెండు అవకాశాలను తెరిచి ఉంచుతుంది: ప్రోగ్రామ్ ఆ ఘాతాంకానికి కచ్చితంగా సరిపోవచ్చు, లేదా దాన్ని అధిగమించవచ్చు. పత్రం దాని పర్యవసానాన్ని నేరుగా చెబుతుంది. రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ సంప్రదాయ ఉన్నత-పరిమాణ గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకాన్ని మెరుగుపరుస్తుందా అన్న ప్రశ్న తెరిచే ఉంది.
Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat, Tajdini రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ ఉన్నత-పరిమాణ రేటును ఊహించారు. ఆ ఊహ జాగ్రత్తగా చూడాల్సిన అంశం, మూలం కూడా దాన్ని అలాగే చూస్తుంది. అది ఒక ఊహ, రచయితల వద్ద ఉన్న ఆధారాల మద్దతుతో, ఎవరూ దాన్ని నిరూపించలేదు. కొత్త ఫలితం దాని స్థితిని మారుస్తుంది.
ప్రధాన సిద్ధాంతం #
పత్రంలోని ప్రధాన సిద్ధాంతం ఆ 2020 పరిశోధన పత్రంలోని ఊహలు 3.1, 3.2 లో ఊహించిన ఘాతాంక రేటును నిరూపిస్తుంది. దావాలు బలపరిచే స్థాయిలో చెప్పాలంటే: రచయితలు Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన ఘాతాంక క్షయ రేటును నిర్ణయిస్తారు. మూలం మాటల్లో, ప్రోగ్రామ్ అనంతస్పర్శి బలం కచ్చితంగా నిర్ణయించబడింది.
మూలం నుంచి నేరుగా రెండు పర్యవసానాలు వస్తాయి. మొదటిది ఉన్నత పరిమాణాల్లో మెరుగైన సాధారణ ప్యాకింగ్ హద్దు. రెండవది, సంబంధిత Fourier గుర్తు-అనిశ్చితి సమస్య అనంతస్పర్శిగా తేలిపోతుంది. ఇవి వేర్వేరు రకాల పర్యవసానాలు. ఒకటి జ్యామితి గురించి, మరొకటి విశ్లేషణ గురించి, ఒకే సిద్ధాంతం రెండింటినీ అందించడం, గోళ ప్యాకింగ్ సమస్య, అనిశ్చితి సమస్య ఒకే నిర్మాణానికి రెండు ముఖాలు అనడానికి తొలి సూచన.
మూలం ఈ విజయాన్ని చరిత్ర నేపథ్యంలోనూ ఉంచుతుంది. సాధారణ గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకంలో 1978 తర్వాత తొలి మెరుగుదలగా అది ఈ ఫలితాన్ని వర్ణిస్తుంది. సంప్రదాయ Kabatianskii–Levenshtein ఘాతాంకం 0.59905576..., ఆ సంఖ్యే ప్రమాణంగా ఉండేది. తర్వాతి గోళాకార-కోడ్ మెరుగులు దిగువ-క్రమ కారకాలను మాత్రమే మెరుగుపరిచాయని పత్రం నమోదు చేస్తుంది. మరోలా చెప్పాలంటే, ప్రధాన-క్రమ రాశి అయిన ఘాతాంకం విషయంలో ఏమీ కదలలేదు.
ఫలితాన్ని అంచనా వేయడానికి ఈ చట్రమే సరైనదని నా వాదన. దిగువ-క్రమ మెరుగుదల స్థిరాంకాలనూ బహుపది కారకాలనూ సవరిస్తుంది, ఘాతాంక రేటును మాత్రం ఉన్నచోటే వదిలేస్తుంది. ఘాతాంక మెరుగుదల రేటునే మారుస్తుంది. దావాలు సరిగ్గా ఈ వ్యత్యాసాన్ని బలపరుస్తాయి, మునుపటి మెరుగులు దాని దిగువ-క్రమ వైపునే పడ్డాయన్న ప్రకటనను కూడా బలపరుస్తాయి.
| పరిమాణం / చట్రం | సంప్రదాయ ఆధార రేఖ (1978) | Cohn-Elkies రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ | కొత్త మోడల్ నిరూపణ |
|---|---|---|---|
| గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకం | Kabatianskii–Levenshtein హద్దు: 0.59905576... | కనీసం గోళాకార-కోడ్ హద్దులంత బలమైనది (Cohn–Zhao) | Afkhami-Jeddi et al. (2020) ఊహించిన కచ్చితమైన అనంతస్పర్శి రేటు నిరూపితం |
| హద్దు అంతిమత్వం | దిగువ-క్రమ కారకాల మెరుగులు మాత్రమే | అనంతస్పర్శి ఉన్నత-పరిమాణ అంతరంపై తెరిచిన ప్రశ్న | కచ్చితంగా సరిపోయే దిగువ హద్దు: ఏ సహాయక ప్రమేయమూ ఈ రేటును ఓడించలేదు |
| Fourier గుర్తు-అనిశ్చితి | వేర్వేరు గుర్తు హద్దులు ($A^+(d) < A^-(d)$) | anti-self-Fourier పరీక్ష ప్రమేయాలతో ముడిపడింది | అనంతస్పర్శిగా తేలింది; గుర్తు-అనిశ్చితి Mellin ప్రతిబింబం ద్వారా నియంత్రితం |
| దోష-సవరణ కోడ్‌లు | సంప్రదాయ గోళాకార, ద్విమాన కోడ్ హద్దులు | ప్యాకింగ్ హద్దులతో అనంతస్పర్శిగా ముడిపడినవి | అన్ని స్థిర-దూర పరామితులకూ ఘాతాంక కారకాల మెరుగుదల |
| పద్ధతి పరిమితి | బహుపది కారకాల సంఖ్యాత్మక అనుకూలీకరణ | సహాయక పరీక్ష ప్రమేయాలు $f \in \mathcal{A}_d$ తెరిచిన అనుకూలీకరణ | గణిత పరిమితి నిరూపితం: మరిన్ని లాభాలకు Cohn-Elkies కాని పద్ధతులు కావాలి |
సరిపోయే దిగువ హద్దు ప్రశ్ననే ఎందుకు మారుస్తుంది #
ఎగువ హద్దు మెరుగుదల ఒక్కటే అయినా శుభవార్తే అయ్యేది. ఈ ఫలితాన్ని అసాధారణంగా అంతిమమైనదిగా చేసేది దాని రెండో సగం. ఏ Cohn-Elkies సహాయక ప్రమేయమూ ఈ ఘాతాంకాన్ని మెరుగుపరచలేదని సరిపోయే దిగువ హద్దు చూపిస్తుంది.
ఇది పరిశోధన కార్యక్రమానికి ఏమి చేస్తుందో ఆలోచించండి. ఫలితానికి ముందు, సహాయక ప్రమేయాన్ని నిర్మించడానికి మెరుగైన ఆలోచన ఉన్న పరిశోధకుడికి ఇంకా మెరుగైన గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకానికి ఒక విశ్వసనీయ మార్గం ఉండేది. దాని తర్వాత, ఘాతాంకాల స్థాయిలో ఆ మార్గం మూసుకుపోయింది. ఘాతాంకంపై ఇకపై ఏ పురోగతి అయినా Cohn-Elkies చట్రం బయటి నుంచే రావాలి, ఎందుకంటే దాని లోపల రేటు ఇప్పుడు కచ్చితమైనది.
నేను దీన్ని అతిశయోక్తి చేయదలచుకోలేదు. కొత్త ఘాతాంకమే నిజమైన గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకమని దావాలు చెప్పవు, గోళ ప్యాకింగ్ స్వయంగా ఇంతకంటే మెరుగ్గా చేయలేదనీ చెప్పవు. ప్రకటన రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ గురించి: దాని ఘాతాంకం స్థిరపడింది, సహాయక ప్రమేయాన్ని మార్చడం ద్వారా దాన్ని ఓడించలేరు. వేరే సాంకేతికత దాన్ని ఓడించగలదా అన్నది దావాలు తాకని ప్రశ్న. ఇది స్పష్టమైన సరిహద్దు, ఒక రంగానికి తర్వాత ఎక్కడ చూడాలో చెప్పే రకమైన సరిహద్దు.
శ్రమ ఎక్కడికి వెళ్తుందో పట్టించుకునే పాఠకుల కోసం దీనికి ఒక వాణిజ్య దృష్టి పఠనం కూడా ఉంది. ఒక పద్ధతికి కచ్చితంగా తెలిసిన పరిమితి ఉపయోగకరమైన సమాచారం. ఆ పద్ధతి లోపల అనుకూలీకరించడం ఆపమని అది చెబుతుంది. పరిశోధన సమయాన్ని కేటాయించే ఎవరికైనా, "ఇది మెరుగుపడవచ్చు" నుంచి "ఇది మెరుగుపడదు" కి మారడం ఒక సాధారణ సానుకూల ఫలితమంత విలువైనది.
గోళాకార కోడ్‌లు, ద్విమాన కోడ్‌లు #
సంకలనం ప్యాకింగ్ దగ్గర ఆగదు. స్థిర దూరం ఉన్న ద్విమాన, గోళాకార కోడ్‌ల సంప్రదాయ ఎగువ హద్దులు అన్ని పరామితులకూ ఘాతాంక కారకాలతో మెరుగుపరచబడ్డాయి. ఆ వాక్యం బలమైన ఒక పరిమాణసూచకాన్ని మోస్తుంది. మెరుగుదల ఘాతాంక కారకాలతో ఉంది, అది అన్ని పరామితులకూ వర్తిస్తుంది, ఇది అనుకూలమైన ఒక ప్రాంతంలో మెరుగుదల కంటే విస్తృతమైన ప్రకటన.
అధ్యాయం 1 తో ఒక లంకె కూడా ఉంది. గోళాకార కోడ్ నిర్మాణం అధ్యాయం 1 లోని గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకాన్ని కూడా తిరిగి రాబడుతుంది. అలా రెండు దారాలూ కలుస్తాయి: కోడ్ వైపు నిర్మాణం ప్యాకింగ్ వైపు ఘాతాంకాన్ని పునరుత్పత్తి చేస్తుంది. ఆ పునఃప్రాప్తి యంత్రాంగాన్ని దావాలు వివరించవు, నేనూ ఒకదాన్ని కల్పించను. అవి స్థాపించేది ఏమిటంటే, సంబంధం ఈ దిశలోనే నడుస్తుంది, గోళాకార నిర్మాణం ప్యాకింగ్ అధ్యాయం ఇచ్చే అదే ఘాతాంకాన్ని ఇస్తుంది.
పై చరిత్రను దృష్టిలో ఉంచుకుంటే ఈ లంకె ఎందుకు ముఖ్యమో గుర్తు చేసుకోవడం సముచితం. Kabatianskii–Levenshtein గోళాకార-కోడ్ హద్దు రేఖీయ ప్రోగ్రామ్‌కు పోలిక బిందువు, ప్రోగ్రామ్ ఎల్లప్పుడూ కనీసం అంత బలమైనదని Cohn, Zhao సిద్ధాంతం చెప్పింది. కొత్త ఫలితాలు ప్యాకింగ్ హద్దులతో పాటు కోడ్ హద్దులనూ మెరుగుపరుస్తాయి, అదీ తిరిగి ప్యాకింగ్ ఘాతాంకానికే వచ్చే నిర్మాణం నుంచి. రెండు వైపులూ కలిసి ముందుకు జరుగుతున్నాయి.
గుర్తు-అనిశ్చితి సమస్య #
ప్రధాన సిద్ధాంతం రెండో పర్యవసానం Fourier గుర్తు-అనిశ్చితికి సంబంధించినది, దాని రూపురేఖలు గీయడానికి సరిపడా నిర్వచనాలను పత్రం ఇస్తుంది.
ఒక ప్రమేయం g కోసం, |x| ≥ R అయినప్పుడు g(x) ≥ 0 అయ్యేలా ఉండే R ≥ 0 ఇన్ఫిమమ్‌గా r(g) నిర్వచించబడింది. సరళంగా చెప్పాలంటే, r(g) అనేది దాని ఆవల g అంతటా రుణేతరంగా ఉండే వ్యాసార్ధం. అలాంటి వ్యాసార్ధం లేనప్పుడు, r(g) = ∞. తమ సొంత Fourier పరివర్తనాలతో నిర్దిష్ట సంబంధం ఉన్న ప్రమేయాలకు ఈ వ్యాసార్ధాన్ని ఎంత చిన్నదిగా చేయగలమన్నదే అనిశ్చితి సమస్య.
ఆ సంబంధం ఒక గుర్తు. ĝ = ςg అనే షరతు ఒక ప్రమేయాన్ని, గుర్తు వరకు, దాని Fourier పరివర్తనంతో కట్టివేస్తుంది. +1, −1 గుర్తులు వరుసగా అసలు, పూరక అనిశ్చితి సమస్యలను ఇస్తాయి. Cohn, Gonçalves anti-self-Fourier ప్రతిరూపాన్ని, అంటే పూరక సమస్యను, ప్రవేశపెట్టి దాన్ని గోళ ప్యాకింగ్‌తో అనుసంధానించారు. ఆ అనుసంధానమే గోళ ప్యాకింగ్ ఫలితం అనిశ్చితి సమస్యను అనంతస్పర్శిగా తేల్చే వారధి.
పూరక సమస్య శుద్ధ విశ్లేషణలోని కుతూహలం కాదు. spinless modular bootstrap లో, modular S-ప్రతిసౌష్ఠవం anti-self-Fourier పరీక్ష ప్రమేయాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, వాటి అంతిమ గుర్తు spectral gap ను నియంత్రిస్తుంది. దీని కోసం మూలం Hartman, Mazáč, Rastelli లనూ Afkhami-Jeddi et al. పత్రాన్నీ ఉదహరిస్తుంది. అలా ప్రమేయాలు, వాటి పరివర్తనాల గురించిన ప్రకటనగా మొదలైన ప్రశ్న, భౌతికశాస్త్రంలా వినిపించే పేరున్న సందర్భంలోనూ, spectral gap లో, కనిపిస్తుంది. ఆ ఒక్క వాక్యపు యంత్రాంగానికి మించి దావాలు వెళ్లవు, నేనూ వెళ్లను, కానీ అనిశ్చితి సమస్యకు గోళ ప్యాకింగ్ బయట కూడా తోడు ఉందని ఇది గుర్తు చేస్తుంది.
అనుబంధం A రెండు సమస్యల మధ్య ఒక పోలికను జోడిస్తుంది. అన్ని d కీ A+(d) < A−(d) అని అది గమనిస్తుంది. రెండు సమస్యలూ ప్రతి పరిమాణంలోనూ భిన్నమైనవనీ, మొదటి రాశి రెండోదానికంటే కచ్చితంగా చిన్నదనీ చెప్పే ప్రకటన ఇది. దావాలు దీనికి ఇంకే వ్యాఖ్యానమూ ఇవ్వవు, ఈ అసమానత ఏ మినహాయింపూ లేకుండా అన్ని d కీ వర్తిస్తుంది కాబట్టే ఇది గమనించదగినది.
వాదన లోపల: సగటు, సున్నా కావడం, ఒక ద్రవ్యరాశి అంచనా #
అనిశ్చితి విశ్లేషణ ఎలా నిర్మించబడిందో అనుభూతినిచ్చే అనేక సాంకేతిక ప్రకటనలు పత్రంలో ఉన్నాయి. అవి ముక్కలు, నేను వాటిని ముక్కలుగానే అందిస్తాను, కానీ కలిసి అవి ఒక పద్ధతి రూపురేఖలను గీస్తాయి.
సౌష్ఠవంతో మొదలుపెట్టండి. భ్రమణ సగటు O(d) పై సాధారణీకరించిన Haar కొలతను ఉపయోగించి నిర్వచించబడింది. భ్రమణాలపై ఒక ప్రమేయానికి సగటు తీసుకుంటే వ్యాసార్ధ ప్రమేయం వస్తుంది, అలా చేయడం ఉద్దేశం షరతులను భంగపరచకుండా సమస్యను సరళీకరించడం. (2) అని గుర్తించిన సమస్య షరతుల జాబితాలోని ప్రతి గుర్తు షరతునూ భ్రమణ సగటు కాపాడుతుందని మూలం చెబుతుంది. ĝ = ςg అయితే r(Rg) ≤ r(g) అని కూడా అది జోడిస్తుంది, ఇక్కడ Rg అనేది g భ్రమణ సగటు. కాబట్టి సగటు తీసుకోవడం గుర్తు వ్యాసార్ధాన్ని ఎప్పుడూ దిగజార్చదు. అంతేకాదు, మూలం మాటల్లో, g ≠ 0 చివరికి రుణేతరమైనప్పుడల్లా Rg ≠ 0, కాబట్టి ఎక్కువ దూరంలో సరైన గుర్తు ప్రవర్తన ఉన్న ప్రమేయాన్ని సగటు తుడిచివేయదు.
ఈ మూడు వాస్తవాలూ కలిసి వ్యాసార్ధ ప్రమేయాలకు కుదించడాన్ని సమర్థిస్తాయి. ఆ కుదింపు వ్యాసార్ధంలో ఏ మూల్యమూ కోరదు, గుర్తు షరతులను కాపాడుతుంది, ప్రమేయాన్ని సున్నాకు కూల్చదు. ఇది ప్రామాణిక సౌష్ఠవ వాదన రూపం, దావాలు దాని ప్రతి అంశాన్నీ ధ్రువీకరిస్తాయి.
తర్వాత, మూలబిందువు. g = h − ĥ అనే ప్రమేయం మూలబిందువు వద్ద సున్నా అవుతుంది. నిరూపణలో పెద్ద పని చేసే చిన్న వాస్తవం ఇది, ఎందుకంటే Cohn-Elkies హద్దులో మూలబిందువు విలువలు నేరుగా ఉంటాయి, అక్కడ సున్నా అయ్యే ప్రమేయం సున్నా కాని దానికంటే భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుంది. సంబంధిత ఒక సవరణ దశ కూడా నమోదైంది: సవరించిన ప్రమేయం gn, gn(0) = 0 ను సంతృప్తిపరుస్తుంది, L1 లో gn → g. అంటే, ప్రతిదీ మూలబిందువు వద్ద సున్నా అయ్యే సవరించిన ప్రమేయాల శ్రేణి L1 అర్థంలో g వైపు అభిసరిస్తుంది. దీనివల్ల మూలబిందువు షరతును కచ్చితంగా తీరుస్తూనే లక్ష్యాన్ని సన్నిహితంగా అందుకునే ప్రమేయాలతో వాదన పనిచేయగలదు.
ఆ తర్వాత ఒక పరిమాణాత్మక షరతు ఉంది. ద్రవ్యరాశి అంచనా 1/a ≥ (1/π − o(1))√d ని తప్పనిసరి చేస్తుంది. దావాలు a ని నిర్వచించవు, కాబట్టి అది దేన్ని కొలుస్తుందో నేను చెప్పలేను, ఊహించనూ ఊహించను. చెప్పగలిగేది ముగింపు రూపం: పరిమాణం వర్గమూలంలా పెరిగే, స్థిరాంకం 1/π, అదృశ్యమయ్యే ఒక సవరణ ఉన్న, 1/a పై ఒక దిగువ హద్దు. పరిమాణం వర్గమూల స్కేలు ఉన్నత-పరిమాణ జ్యామితికి సహజంగా కనిపించే పరిమాణం, కానీ అది సమాసం రూపం గురించిన నా పరిశీలన, దావాలు దాన్ని యంత్రాంగంగా చెప్పవు.
Mellin చిత్రం #
పరికరాల సంచిలోని మరో ముక్క పత్రంలో కనిపిస్తుంది, ఇక్కడ వ్యాసార్ధ Fourier విశ్లేషణ ఎందుకు నిర్వహించదగినదో అత్యంత స్పష్టంగా వివరించేది అదే. Mellin పరివర్తనం తర్వాత, వ్యాసార్ధ Fourier పరివర్తనం Mellin చరరాశిని ప్రతిబింబిస్తుంది. ఒక పరివర్తనం ఎలా పనిచేస్తుందో చెప్పే సంక్షిప్త ప్రకటన ఇది. సాధారణంగా ఒక సమాకలన ఆపరేటర్‌గా, నేరుగా తర్కించడానికి కష్టంగా ఉండే వ్యాసార్ధ ప్రమేయం Fourier పరివర్తనం, Mellin చరరాశిలో ఒక ప్రతిబింబంగా మారుతుంది. ఆపరేటర్లలో ప్రతిబింబాలు దాదాపు అత్యంత సరళమైనవి.
అదే భాగం అవతలి వైపు ఒక విశ్లేషణాత్మక షరతును కూడా నమోదు చేస్తుంది. g యొక్క Schwartz క్షయం v → +∞ అయినప్పుడు Φg వేగవంతమైన క్షయాన్ని ఇస్తుంది. ఇక్కడ Φg అనేది Mellin విశ్లేషణలో లభించే వస్తువు, v దాని చరరాశి. ఈ జత బోధాత్మకమైనది: ప్రతిబింబ లక్షణం నిర్మాణాన్ని నిర్వహిస్తుంది, Schwartz క్షయం అనంతం వద్ద నియంత్రణను నిర్వహిస్తుంది. ఈ శైలి నిరూపణకు రెండూ అవసరం, ఎందుకంటే క్షయం లేని నిర్మాణం అభిసరించకపోయే సమాకలనాలను వదిలేస్తుంది, నిర్మాణం లేని క్షయం లెక్కించడానికి ఏమీ మిగల్చదు.
Sd అనేది ఏకాంక గోళం వైశాల్యమని కూడా పత్రం గమనిస్తుంది, వ్యాసార్ధ సమాకలనాలను గోళానికీ రేఖకూ మధ్య మార్చేటప్పుడు అది సాధారణీకరణ కారకంగా ప్రవేశిస్తుంది. ఇది నిర్వచనపరమైన అంశం, తుది హద్దులోని స్థిరాంకాలు సరిగ్గా వస్తాయో లేదో నిర్ణయించే రకమైన లెక్కల వ్యవహారం ఇది.
ఈ ముక్కలు ఏమిటో నేను స్పష్టంగా చెప్పదలచుకున్నాను. అవి నిరూపణ కాదు. దావాలు ఉత్పాదనలను కాదు, ప్రకటనలను ఇస్తాయి, ఏ పాఠకుడూ వాటి నుంచి పూర్తి వాదనను పునర్నిర్మించకూడదు. అవి చూపించేది, విశ్లేషణ సౌష్ఠవం ద్వారా కుదింపు, మూలబిందువు షరతు, పరిమాణాత్మక ద్రవ్యరాశి అంచనా, చరరాశి మార్పు తర్వాత చర్య సరళమయ్యే పరివర్తనం అనే వాటిని కలుపుతుందని. Fourier-విశ్లేషణ అంత్య సమస్యలకు ఈ కలయిక సంప్రదాయమైనది, ఇది తుది ఫలితం కచ్చితత్వాన్ని తక్కువ కాకుండా మరింత గమనార్హమైనదిగా చేస్తుంది. ప్రామాణికంగా కనిపించే పరికరాలే పదునైన సమాధానాన్ని చేరుకోవడానికి సరిపోయాయి.
సంకలనంలో మిగిలినవి #
గోళ ప్యాకింగ్ అధ్యాయం పత్రంలో ఒక భాగం మాత్రమే, మిగిలిన ఫలితాలకూ న్యాయమైన లెక్క దక్కాలి. ప్రతిదాన్నీ ఇక్కడ దావాలు ఇచ్చినట్లుగానే చెప్పాను.
సమూహ సిద్ధాంతంలో, స్పష్టమైన ఒక nonsofic సమూహం నిర్మించబడింది, ఇది లెక్కించదగిన ప్రతి సమూహమూ sofic అవుతుందా అనే దీర్ఘకాలిక ప్రశ్నకు జవాబు ఇస్తుంది. నిరూపణ Kun, Kun–Thom ల పనిని ఒక సంయోజన expander-matching వాదనతో కలుపుతుంది, దాన్ని ద్విమాన Leavitt బీజగణితం, Thompson సమూహం V ఉపయోగించి సాకారం చేశారు. ఇక్కడ "స్పష్టమైన" అనే పదానికి బరువు ఉంది: ఫలితం ఒక నిర్మాణం, అస్తిత్వ వాదన కాదు.
ఆపరేటర్ బీజగణితాల్లో, property (T) ఉన్న, జతలవారీగా సమరూపం కాని అనంతమైన అనేక సమూహాలు ఒకే సమూహ von Neumann బీజగణితంతో నిర్మించబడ్డాయి. ఇది Connes ఊహను ఖండిస్తుంది, Popa సంబంధిత finite-to-one ప్రశ్నకు జవాబు ఇస్తుంది. ఒకే నిర్మాణంతో పేరున్న రెండు ప్రశ్నలు పరిష్కారమవుతాయి.
అంకగణిత సంక్లిష్టతలో, పత్రం permanent కోసం దిగువ హద్దులను ఇస్తుంది. division-free సర్క్యూట్‌లకు Ω(n² log log n) గేట్లు అవసరం, సూత్రాలకు Ω(n⁴ / log n) ఆకులు అవసరం. ఇవి గణనకు సంబంధించిన రెండు నమూనాలకు రెండు హద్దులు, పత్రం వాటిని పక్కపక్కనే చెబుతుంది.
క్వాంటం సమాచారంలో, ప్రతి పరిమిత ఇద్దరు-ఆటగాళ్ల entangled ఆటకూ ఘాతాంక సమాంతర పునరావృతి నిరూపించబడింది. ఇది సంప్రదాయ పునరావృతి సూత్రాన్ని క్వాంటం ఆటల్లో ఇంతకు ముందు పరిశీలించిన ప్రత్యేక తరగతులకు మించి విస్తరిస్తుందని మూలం చెబుతుంది. పరిమాణసూచకం మళ్లీ ప్రత్యేకంగా నిలుస్తుంది: ప్రతి పరిమిత ఇద్దరు-ఆటగాళ్ల entangled ఆట, ఏ ప్రత్యేక తరగతి పరిమితీ లేకుండా.
సన్నికర్షణ కాఠిన్యంలో, 3SAT నుంచి ప్రత్యక్ష తగ్గింపు Euclidean closest vector problem కి n^(1/400)-కారక కాఠిన్యాన్ని ఇస్తుంది, ద్విమాన డీకోడింగ్, ఇతర లాటిస్ నార్మ్‌లకు సంబంధిత పర్యవసానాలతో. 1/400 ఘాతాంకం చిన్నది, దాన్ని అలంకరించడం కంటే రాసినట్లుగానే నివేదించడాన్ని నేను ఇష్టపడతాను. దావాలు ఈ తగ్గింపును ప్రత్యక్షమైనదిగా పిలుస్తాయి, ద్విమాన డీకోడింగ్, ఇతర నార్మ్‌లకు పర్యవసానాలను జోడిస్తాయి.
కుంభాకార జ్యామితిలో, తమ గురుత్వ కేంద్రమే తమ ఏకైక అంతర్గత లాటిస్ బిందువుగా ఉండే కుంభాకార వస్తువులకు (n + 1)^n / n! అనే పదునైన ఘనపరిమాణ ఎగువ హద్దు ప్రతి పరిమాణంలోనూ నిరూపించబడింది. పదును, అన్ని పరిమాణాల సాధారణత రెండూ దావాలో భాగం.
Ramsey సిద్ధాంతంలో, కొత్త superexponential దిగువ హద్దు Rk(3) అనేది k^Θ(k) లా పెరుగుతుందని చూపిస్తుంది. అంత్య గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంలో, వేర్వేరు ద్విభాగ గ్రాఫ్ నిర్మాణాలు రెండు ఊహలను ఖండిస్తాయి: Erdős, Simonovits ల compactness ఊహ, Erdős యొక్క ఒక degeneracy ఊహ.
సంకలనాన్ని మొత్తంగా చదవడం #
ఈ జాబితాను ట్రోఫీల అల్మరాలా చూడటం తేలిక, కాబట్టి దాని నుంచి ఏమి నిర్ధారించవచ్చో, ఏమి నిర్ధారించలేమో చెప్పడం సముచితం.
చెప్పగలిగేది: పత్రం కనీసం ఎనిమిది రంగాల్లో ఫలితాలను నివేదిస్తుంది, వాటిలో అనేకం పేరున్న ఊహలకు జవాబు ఇచ్చేవిగా లేదా వాటిని ఖండించేవిగా వర్ణించబడ్డాయి, గోళ ప్యాకింగ్ అధ్యాయం సరిపోయే దిగువ హద్దుతో వస్తుంది, అది దాని ఫలితాన్ని దాని చట్రం లోపల అంతిమంగా చేస్తుంది. సంబంధిత ఊహలు Connes, Popa, Erdős, Simonovits ల పేర్లను మోస్తాయి, గోళ ప్యాకింగ్ రేటును Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat, Tajdini ఊహించారు. పేరున్న ప్రశ్నలను పరిష్కరించే ఫలితాలను అంచనా వేయడం సులభం, ఎందుకంటే సమాధానం ఉనికిలోకి రాక ముందే ప్రశ్న అడగబడింది.
ఈ దావాల ఆధారంగా మాత్రమే చెప్పలేనిది: మోడల్ ఎలా పనిచేస్తుంది, దానికి ఎన్ని ప్రయత్నాలు అవసరమయ్యాయి, దాని అవుట్‌పుట్ ఎలా ధ్రువీకరించబడింది, లేదా మానవ కృషితో అది ఎలా పోలుస్తుంది అనేవి. ఫలితాలు OpenAI అంతర్గత మోడల్ ఒకటి సాధించినవని మూలం చెబుతుంది, దావాలు అక్కడే ఆగిపోతాయి. యంత్ర గణితం గురించిన సాక్ష్యంగా ఈ సంకలనం ప్రాముఖ్యాన్ని తూకం వేయాలనుకునే పాఠకుడికి దావాల్లో లేని సమాచారం అవసరం. ఆ ఖాళీని నమ్మదగినట్లు వినిపించే కథనంతో నింపే ప్రలోభాన్ని నేను నిరోధిస్తాను.
అయినా తీసుకోదగిన ఒక వైఖరి ఉంది. ఫలితాలు సాంకేతికతలో విభిన్నమైనవి: nonsofic సమూహం ద్విమాన Leavitt బీజగణితాన్నీ Thompson సమూహం V నీ ఉపయోగిస్తుంది, గోళ ప్యాకింగ్ ఫలితం Fourier విశ్లేషణనూ Mellin పరివర్తనాలనూ ఉపయోగిస్తుంది, closest vector కాఠిన్యం 3SAT నుంచి తగ్గింపును ఉపయోగిస్తుంది. అంత సాంకేతిక భూమిని ఆవరించే సంకలనం పదే పదే వాడిన ఒకే ఉపాయం ఫలితం కాదు. ఈ ఫలితాలను ఏది ఉత్పత్తి చేసినా, అది అనేక గణిత మాండలికాల్లో పనిచేస్తోంది, దావాలు కనీసం అంతవరకు బలపరుస్తాయి.
రంగాల వారీగా దీని అర్థం #
ఉన్నత-పరిమాణ Cohn-Elkies క్షయ రేటు కచ్చితమైన నిర్ణయం, దానితో వచ్చిన గణిత ఫలితాలు అనేక సైద్ధాంతిక, అనువర్తిత గణన రంగాలను ప్రభావితం చేస్తాయి.
శుద్ధ గణితం, విచ్ఛిన్న జ్యామితి #
ఉన్నత-పరిమాణ జ్యామితి, హార్మోనిక్ విశ్లేషణలో పనిచేసే గణితవేత్తలకు, కచ్చితమైన Cohn-Elkies క్షయ రేటు నిర్ణయం పరిశోధన రంగాన్ని మారుస్తుంది. $\mathcal{A}_d$ లోని ఏ సహాయక ప్రమేయమూ కొత్త ఘాతాంకాన్ని ఓడించలేదని సరిపోయే దిగువ హద్దు నిరూపిస్తుంది కాబట్టి, సంప్రదాయ రేఖీయ ప్రోగ్రామింగ్ చట్రంలో మెరుగైన వ్యాసార్ధ పరీక్ష ప్రమేయాల కోసం వెతకడాన్ని పరిశోధకులు ఆపవచ్చు. మరింత దట్టమైన గోళ ప్యాకింగ్‌లు లేదా మరింత బిగువైన సార్వత్రిక హద్దుల వైపు పురోగతి ఇకపై రేఖీయేతర ప్రోగ్రామింగ్ సాంకేతికతలను, ఉన్నత-క్రమ semidefinite శ్రేణులను, లేదా మౌలికంగా భిన్నమైన జ్యామితీయ నిర్మాణాలను అన్వేషించాలి.
క్రిప్టోగ్రఫీ, లాటిస్ ఆధారిత భద్రత #
ML-KEM, ML-DSA వంటి పోస్ట్-క్వాంటం ప్రమాణాల కేంద్రంగా ఉన్న లాటిస్ ఆధారిత క్రిప్టోగ్రఫీ, ఉన్నత-పరిమాణ Euclidean లాటిస్‌లలో అతి చిన్న లేదా అతి సమీప సదిశలను కనుగొనడంలోని ఊహించిన కాఠిన్యంపై ఎక్కువగా ఆధారపడుతుంది. Euclidean Closest Vector Problem (CVP) కి $n^{1/400}$-కారక కాఠిన్యాన్ని స్థాపించే 3SAT నుంచి ప్రత్యక్ష తగ్గింపు, గోళ ప్యాకింగ్‌లు, గోళాకార కోడ్‌లపై మరింత బిగువైన ఘాతాంక పరిమితులతో కలిసి, నిర్దిష్ట భద్రతా పరామితులను బలహీనపరచకుండా, worst-case-to-average-case లాటిస్ తగ్గింపుల సైద్ధాంతిక పునాదులను పటిష్ఠం చేస్తుంది.
స్వయంచాలక సిద్ధాంత నిరూపణ, ఫౌండేషన్ మోడల్‌లు #
తార్కిక వ్యవస్థలు, స్వయంచాలక సిద్ధాంత నిరూపకాలను అభివృద్ధి చేసే పరిశోధన బృందాలకు, సంకలనం విస్తృతి, సాంకేతిక లోతు ఒక చెప్పుకోదగ్గ ప్రమాణాన్ని అందిస్తాయి. తెలిసిన నిరూపణల కృత్రిమ వైవిధ్యాలను ఉత్పత్తి చేయడానికి బదులు, అంతర్గత మోడల్ సమూహ సిద్ధాంతం (Thompson సమూహం V ద్వారా స్పష్టమైన nonsofic సమూహ నిర్మాణం), ఆపరేటర్ బీజగణితాలు (Connes ఊహ ఖండన), అంకగణిత సంక్లిష్టత (permanent దిగువ హద్దులు) అంతటా విస్తరించిన తెరిచిన సమస్యలను ఎదుర్కొంది. ధ్రువీకరణ, నిరూపణ తనిఖీ కఠినంగా ఉన్నంతవరకు, న్యూరల్ నిర్మాణాలు లోతైన Fourier విశ్లేషణనూ సంయోజన matching నూ నిర్వహించగలవని ఇది చూపిస్తుంది.
ముగింపు #
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు నిర్ణయం జ్యామితీయ విశ్లేషణలోని ఒక ప్రధాన అధ్యాయాన్ని మూసివేస్తుంది. Afkhami-Jeddi, Cohn, Hartman, de Laat, Tajdini ల 2020 ఊహను నిరూపించి, 1978 తర్వాత సాధారణ గోళ ప్యాకింగ్ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదలను స్థాపించడం ద్వారా, ఈ పని చెక్కుచెదరని గణిత ఆధార రేఖను స్థాపిస్తుంది. ఏ Cohn-Elkies సహాయక ప్రమేయమూ మరిన్ని ఘాతాంక లాభాలను ఇవ్వలేదని సరిపోయే దిగువ హద్దు ధ్రువీకరిస్తుంది కాబట్టి, ఈ సిద్ధాంతం రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ అనంతస్పర్శి బలాన్ని తేల్చడంతో పాటు, ఉన్నత-పరిమాణ జ్యామితి భవిష్యత్తును మౌలికంగా కొత్త విశ్లేషణాత్మక క్షితిజాల వైపు మళ్లిస్తుంది.
తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు #
Kabatianskii–Levenshtein హద్దు ప్రాముఖ్యం ఏమిటి?
1978 లో స్థాపించబడిన Kabatianskii–Levenshtein హద్దు, ఉన్నత పరిమాణాల్లో గోళ ప్యాకింగ్ సాంద్రతపై 0.59905576... అనే అనంతస్పర్శి ఎగువ హద్దు ఘాతాంకాన్ని ఇచ్చింది. నాలుగు దశాబ్దాలకు పైగా, తర్వాతి మెరుగులు దిగువ-క్రమ బీజగణిత కారకాలను మాత్రమే మెరుగుపరిచాయి, ప్రధాన ఘాతాంక రేటు ఈ ఫలితం వరకు తాకబడకుండా ఉండిపోయింది.
సరిపోయే దిగువ హద్దు ఎందుకు అంత కీలకం?
ఎగువ హద్దు ఒక్కటే రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ ఏమి సాధిస్తుందో చూపిస్తుంది, కానీ సరిపోయే దిగువ హద్దు, Cohn-Elkies అనుమతించదగిన తరగతి A(d) లో సహాయక ప్రమేయం f యొక్క ఏ ఎంపికా ఇంతకంటే చిన్న ఘాతాంకాన్ని ఇవ్వలేదని నిరూపిస్తుంది. ఇది రేఖీయ ప్రోగ్రామింగ్ చట్రంపైనే ఒక సంపూర్ణ పరిమితిని స్థాపిస్తుంది.
Fourier గుర్తు-అనిశ్చితి సమస్య గోళ ప్యాకింగ్‌తో ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంది?
పూరక Fourier గుర్తు-అనిశ్చితి సమస్య (ఇక్కడ g_hat = -g) గోళ ప్యాకింగ్ హద్దులతో సన్నిహితంగా ముడిపడి ఉందని Cohn, Gonçalves స్థాపించారు. భ్రమణ సగటు, Mellin-పరివర్తన ప్రతిబింబాల ద్వారా, Cohn-Elkies ప్రోగ్రామ్ అనంతస్పర్శి పరిష్కారం Fourier గుర్తు-అనిశ్చితి సమస్యను నేరుగా తేల్చుతుంది.
ఈ ఫలితం లాటిస్ ఆధారిత క్రిప్టోగ్రఫీని ప్రమాదంలో పడేస్తుందా?
లేదు. ఉన్నత పరిమాణాల్లో గోళాలు ఎంత దట్టంగా ప్యాక్ కాగలవనే దానిపై ఎగువ హద్దులను ఈ సిద్ధాంతం పదునుపెడుతుంది, Closest Vector Problem కి $n^{1/400}$-కారక కాఠిన్యాన్ని స్థాపిస్తుంది, కానీ బహుపది-కాల లాటిస్ తగ్గింపు అల్గారిథమ్‌లను అది అందించదు. ఆచరణాత్మక లాటిస్ క్రిప్టోసిస్టమ్‌లు తెలిసిన క్వాంటం, సంప్రదాయ దాడులకు వ్యతిరేకంగా సురక్షితంగానే ఉంటాయి.
ఆధారాలు #
- Nima Afkhami-Jeddi et al., (2020). ఉన్నత-పరిమాణ గోళ ప్యాకింగ్‌లు, modular bootstrap ⧉. Journal of High Energy Physics.
- Henry Cohn and Noam Elkies, (2003). గోళ ప్యాకింగ్‌లపై కొత్త ఎగువ హద్దులు I ⧉. Annals of Mathematics.
- Henry Cohn and Felipe Gonçalves, (2019). Fourier విశ్లేషణలో ఒక అనుకూలతమ అనిశ్చితి సూత్రం ⧉. PNAS.
- Henry Cohn and Yufei Zhao, (2014). గోళాకార కోడ్‌ల ద్వారా గోళ ప్యాకింగ్ హద్దులు ⧉. Duke Mathematical Journal.
- G. A. Kabatianskii and V. I. Levenshtein, (1978). గోళంపై, అంతరాళంలో ప్యాకింగ్‌లకు హద్దులు ⧉. Problems of Information Transmission.
- Maryna S. Viazovska, (2017). పరిమాణం 8 లో గోళ ప్యాకింగ్ సమస్య ⧉. Annals of Mathematics.
చివరిగా సమీక్షించబడింది .
చివరిగా సమీక్షించబడింది .
ఈ వ్యాసాన్ని క్రాస్-పోస్ట్ చేయండి
Medium కోసం ఫార్మాట్ చేసి కాపీ చేయండి
# Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau > Originally published at [https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/](https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/) OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో. Read the full article on sebastienrousseau.com: https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/
Mastodon కోసం ఫార్మాట్ చేసి కాపీ చేయండి
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో. https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/
LinkedIn కోసం ఫార్మాట్ చేసి కాపీ చేయండి
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో. ముఖ్యమైన వ్యూహాత్మక అంశాలు ఇవి: - సంకలనం అంటే ఏమిటి, ఒక ఫలితం ఎందుకు ప్రత్యేకంగా కనిపిస్తుంది. పత్రం నిరాడంబరంగా మొదలవుతుంది. - Cohn-Elkies ప్రోగ్రామ్, అది దేనికి హద్దు విధిస్తుంది. ఒకదానిపై ఒకటి రాని బంతులు అంతరాళాన్ని ఎంత దట్టంగా నింపగలవో గోళ ప్యాకింగ్ అడుగుతుంది. - చట్రం ఇప్పటికే ఏమి సాధించింది. కొత్త సిద్ధాంతానికి వెళ్లే ముందు, Fourier-విశ్లేషణ రేఖీయ-ప్రోగ్రామింగ్ చట్రం ఇప్పటికే ఏమి అందించిందో నిర్దిష్టంగా చెప్పడం సముచితం, ఎందుకంటే కొత్త ఫలితం పాక్షికంగా అది ఇంకా ఎంత దూరం వెళ్లగలదో అనే దాని గురించిన ప్రకటన. - ప్రధాన సిద్ధాంతం. పత్రంలోని ప్రధాన సిద్ధాంతం ఆ 2020 పరిశోధన పత్రంలోని ఊహలు 3.1, 3.2 లో ఊహించిన ఘాతాంక రేటును నిరూపిస్తుంది. ఈ వ్యాసంలో వివరించిన సవాళ్లకు మీ సంస్థ దృక్పథం ఏమిటి? → https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/ #Openaiఅంతర్గతమోడల్ #CohnElkies #గోళప్యాకింగ్ #రేఖీయప్రోగ్రామ్ #క్షయరేటు Sebastien Rousseau | CC-BY-4.0
ఈ వ్యాసాన్ని ఉదహరించండి
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau
OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో.
BibTeX
@online{rousseau2026cohn,
author = {Rousseau, Sebastien},
title = {{Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau}},
year = {2026},
url = {https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/},
urldate = {2026}
}RIS
TY - GEN AU - Rousseau, Sebastien TI - Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau PY - 2026 UR - https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/ ER -
Vancouver
Rousseau S. Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. 2026 Oct 5. Available from: https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/
Chicago
Rousseau, Sebastien. "Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau." sebastienrousseau.com. October 5, 2026. https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/.
APA
Rousseau, S. (2026, October 5). Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau. sebastienrousseau.com. https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/
ఈ వ్యాసాన్ని పునఃప్రచురించండి
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau
OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో.
ఈ వ్యాసం కింది లైసెన్స్ కింద ఉంది Creative Commons Attribution 4.0 International. పునఃప్రచురణకు కానానికల్ URLకు ఆపాదన అవసరం.
Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటు: OpenAI అంతర్గత మోడల్ — Sebastien Rousseau OpenAI అంతర్గత మోడల్ Cohn-Elkies గోళ ప్యాకింగ్ రేఖీయ ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన క్షయ రేటును నిర్ణయించింది: 1978 తర్వాత సాధారణ ఘాతాంకంలో తొలి మెరుగుదల, సరిపోయే దిగువ హద్దుతో. Originally published at https://sebastienrousseau.com/te/2026-10-05-cohn-elkies-gola-pyakimg-kachchitamaina-kshaya/ by Sebastien Rousseau. Licensed under CC-BY-4.0.